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PAGE PAGE 1 一道数学题的多解多变 楼塔初中 徐飞 原题：如图所示，四边形ABCD是平行四边形，它的两条对角线相交于点O，点E是DO的中点，点F是BO的中点。连结AE、CE、AF、CF，说出四边形AFCE是平行四边形的理由。 出自浙教版初中数学优化于提高第五章平行四边形第五节平行四边形判定基础训练第八题。 分析：考查内容为平行四边形的定义（第二节内容），平行四边形的判定两组对边分别相等的四边形是平行四边形及一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。由此可以得到以下三种解法。 方法一： 利用平行四边形的定义来进行 判断??????????????? ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD=BC，∠ADE=∠CBF，BO=DO， ∵点E是DO的中点，点F是BO的中点， ∴DE=BF， ∴△ADE≌△CBF， ∴∠DAE=∠BCF， ∵∠AEO=∠ADE＋∠DAE，∠CFO=∠CBF＋∠BCF， ∴∠AEO=∠CFO， ∴AE∥CF。 同理∠CEO=∠AFO， ∴AF∥EC， ∴四边形AFCE是平行四边形。 方法二： 利用两组对边分别相等的四边形是平行四边形 由（1）知△ADE≌△CBF， ∴AE=FC， 同理AF=EC， ∴四边形AFCE是平行四边形。 方法三：利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 由（1）知AE∥CF， 又∵△ADE≌△CBF， ∴AE=CF， ∴四边形AFCE是平行四边形。 三种解法都能证明题目，但是对于学生来说因为方法一属于已学内容，方法二，三属于新学内容，比较容易舍易取繁而选择方法一。因此在讲解中应该注意提醒学生回顾平行四边形的判定。 变式题（一） 如图，已知ABCD，E， F是对角线BD上的两点，且DE=BF.求证：四边形AECF是平行四边形． O证明一： O ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD=BC，∠ADE=∠CBF， ∵DE=BF， ∴△ADE≌△CBF， ∴AE=CF， 同理CE=AF， ∴四边形AFCE是平行四边形。 证明二： 连接AC交EF于点O ∵四边形ABCD是平行四边形 ∴AO=CO，DO=BO 又∵DE=BF ∴EO=DO-DE=BO-BF=FO 而AO=BF ∴四边形AFCE是平行四边形。 变式题（二） 如图，已知ABCD，E，F是对角线BD所在直线上的两点，且AE∥CF，求证：CE∥AF． 证明一：连结AC交EF于点O， O∵AE∥CF， O ∴∠AED=∠CFB． ∵AD=BC，AD∥BC， ∴∠ADB=∠CBD， ∴∠EDA=∠FBC， ∴△ADE≌△CBF， ∴ED=BF． ∵OA=OC，OB=OD， ∴OE=OF， ∴四边形AFCE是平行四边形， ∴CE∥AF 证明二：连结AC交EF于点O， O∵AE∥CF， O ∴∠AED=∠CFB． ∵AD=BC，AD∥BC， ∴∠ADB=∠CBD， ∴∠EDA=∠FBC， ∴△ADE≌△CBF， ∴AE=CF 又∵AE=CF ∴四边形AFCE是平行四边形 ∴CE=AF 教学反思 在课堂教学要重视让学生养成对问题“一题多解”的习惯使学生能多角度分析问题，灵活运用已有知识方法多途径 决问题。这样可以帮助学生总结解题规律并能对知识与方法融会贯通，进一步发展学生的思维能力，使“学生的大脑越来越强大”。有很多数学问题都有不同的解答方法，并且随着不断学习，知识的增加，解答同一问题的方法也会越来越多。 “新知识”的发生要让学生去探究，问题的解决要给学生充分的时间。这样做既可以复习与该道题目相关的所有知识点，还可以在考试当中选择自己认为相对比较简单的一种方法，做到既省时间又提高解题效率。当问题出来后习惯于用多种方法去解决，在老师没有要求停止独立思考时一直在进行思维活动。学习水平高的学生不会因为问题的解决而停止思维，同时为学习水平低的学生赢得了思考时间，学习水平低的学生也就不会因为问题得不到充分的思考而影响课堂效益。诚然，并不是任何一个问题都能“一题多解”，它很可能只有一种解法，但学生在以这种方法解完以后还在构建思路，对他们的思维训练的作用仍然是巨大的.这样一来，课堂教学中就能使每个学生都能得到适合自身特点，适合自身需要的发展，这也是一种很好的分层教学。