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一道关于电子做圆周运动的易错题的完整解法 浙江省上虞市春晖中学 金彪 312353 原题：一电子在电场中仅受电场力的作用，做匀速圆周运动，关于该电场下列说法正确的是： 一定是正点电荷形成的电场 一定是负点电荷形成的电场 可能是两个等量正点电荷形成的电场 可能是两个等量异种点电荷形成的电场 本题学生最容易选的选项是选项A，因为正点电荷产生的电场是从点电荷出发的辐向电场，在以点电荷为球心的球面刚好为一等势面，且场强大小处处相等，方向指向点电荷。只要电子的初速度大小方向合适，正电荷对电子的库伦力恰好提供电子做圆周运动的向心力。对于等量正点电荷对形成的电场，我们常见的电场线和等势面示意图如图1所示，从图中看，该电场中不存在一条圆形的等势等势线，电子在其中作圆周运动时电场力必然对其做功，电子速度大小就会发生变化。所以会有部分同学错选A选项，而不是C选项。这些同学对等量正点电荷对电场的理解只停留在平面上，而不是从整个空间来把握。众所周知该电场在过电荷的连线上辐向均匀分布，即以电荷连线上任意点为圆心，任意长为半径的，且处于垂直于连线的截面上画一个圆，在该圆上，场强大小处处相等，电势处处相同。在垂直于电荷连线的平面上，等势面的也是一个个的同心圆。所以当电子速度合适时，电子可以在以连线中点为圆心，某长度为半径的圆上做匀速圆周运动，此时向心力方向指向连线中点，大小保持不变，恰好满足电子做圆周运动的需要。下面我们再来看D选项。等量异种点电荷形成的电场如图2所示，该电场与等量正点电荷形成的电场相似的地方就是它也是在过电荷的连线上辐向均匀分布。过图3中P点画一条电场线的切线，可得该点场强方向垂直于电荷连线，若垂足为Q，则以Q为圆心，PQ长为半径在垂直于连线的截面上画圆，电子可以在该圆上做匀速圆周运动。所以本题中D选项也正确。问题是在该电场中一定可以找到这样的点吗？答案是肯定的。如图4所示是一对在同一水平面上的等量异种电荷QA和QB，其中A带负电，B带正电，电场中P点场强为两场源电荷分别在P点产生场强的矢量和，设两场强分别为E1和E2，P、A间距为R1，P、B间距为R2，∠PAB θ1，∠PBA θ2，P到直线AB的距离为d如图所示。将场强E1和E2分别正交分解，得水平分量分别是E1/和E2/，可得： （1） （2） 当 （3） 时，E1/ E2/，P点合场强方向竖直向上。 由于QA QB，上式可以转化为 （4） 对于不同的θ1和θ2，要使上式成立，只需方程有两个正的实数解，而要判断以上方程实数解的个数只要对函数 求得其导函数是 当y/ 0时，，，可得其图像示意图如图5所示 则当时，方程有两个正的实数解。 即当时，必然有可以找到一个这样的一个θ1满足： 例如，令， 因式分解得： 可求得满足条件的值为：。 即：当，时，P点电场强度方向垂直直线AB向上，在以Q为圆心，PQ长为半径，垂直于AB的圆上，电子可以做匀速圆周运动。 图1 图2 P Q 图3 图5 A B P R1 E2 E1 E2/ E1/ R2 d