解析几何第3讲 圆的方程直线与圆的位置关系.docVIP

第3讲 圆的方程，直线与圆的位置关系 一、考点梳理： 问题1:方程f(x,y)=0的解与曲线C上的点的坐标，应具备怎样的关系，才叫方程的曲线，曲线的方程？ 在直角坐标系中，如果某曲线C上的点与一个二元方程的实数解建立了如下关系： (1)曲线上的点的坐标都是这个方程的解；（纯粹性） (2)以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点．（完备性） 那么，这个方程叫做曲线的方程；这条曲线叫做方程的曲线 问题2、求曲线方程的一般步骤是什么？ ⑴建立适当的坐标系，用有序实数对表示曲线上任意一点M的坐标； ⑵写出适合条件P的点M的集合； ⑶用坐标表示条件P（M），列出方程; ⑷化方程为最简形式； ⑸证明以化简后的方程的解为坐标的点都是曲线上的点. 问题3、圆的方程有那些形式？各自的特点是什么？ ⑴ 圆的标准方程：. ⑵圆的一般方程：， 注意：只有当时，方程才表示圆心为，半径为的圆 二元二次方程表示圆的充要条件是什么？ 且且） ⑶圆的参数方程：（为参数），其中圆心为，半径为. 注意：圆的参数方程的主要应用是三角换元： ； . ⑷圆的直径式方程： 为直径端点的圆方程 问题4、到两个定点距离的比为定值的点的轨迹是什么？ 如：求与两个定点O（0，0）、A（3，0）距离的比为的点的轨迹？ 分析：在求出曲线方程之前，很难确定曲线类型，故应由坐标法求曲线方程. 解：在给定的坐标系里，设点是曲线上的任意一点， 也就是点属于集合. 即, 整理得： 所求曲线方程即为： 将其左边配方，得 ∴此曲线是以点C（-1，0）为圆心，2为半径的圆.如右上图所示 问题5、点与圆的位置关系如何刻画？ 已知点及圆， ①点M在圆C外； ②点M在圆C内； ③点M在圆C上 推广：对于二次曲线与点M的位置关系，有下面的结论： 点M 在曲线C上；点M在曲线C内；点M在曲线C外. 问题6、直线与圆的位置关系如何刻画？直线和圆 可从代数和几何两个方面来判断： ①代数方法（判断直线与圆方程联立所得方程组的解的情况）： 相交；相离；相切； ②几何方法（比较圆心到直线的距离与半径的大小）： 设圆心到直线的距离为，则相交；相离；相切. 提醒：判断直线与圆的位置关系一般用几何方法较简捷. 问题7、圆与圆的位置关系如何刻画？（用两圆的圆心距与半径之间的关系判断）： 设两圆半径分别为，圆心距为d ①若两圆相外离，则 ，公切线条数为4；②若两圆相外切,则，公切线条数为3 ③若两圆相交，则，公切线条数为2；④若两圆内切，则，公切线条数为1 ⑤若两圆内含，则，公切线条数为0 问题8、课本上有一道习题：“已知圆的方程是，求经过圆上一点的切线方程.”答案是，你对还有什么认识？ 拓展：给定圆C：与定点，则直线就是存在且确定的，它与定圆到底是什么样的位置关系呢？有下面的结论. 结论1 若点则l与C切于点M.（这是显然的，证明略） 结论2 若点M在圆外，过点M引圆C的两条切线与，则为过两切点的直线方程，因而l与C相交. 证明 设和是两个切点，由结论1，直线与的方程分别是与.因为它们相交于点M，于是与同时成立.于是得表示直线的方程.与C显然相交. 结论3 若点M在圆C内且不是圆心，以M为中点的圆的弦为AB，过A、B的两条切线相交于点N，则表示过点N且平行于AB的直线方程，因而与C相离. 证明 令N，由结论2，直线AB的方程一定是.因为M是AB的中点，所以，这说明点N在直线上.下面证明∥.①当时，由于O、M、N三点共线，可知，过M、N引同一坐标轴的垂线，由点的坐标定义及直角三角形的相似关系，易知，故AB∥.②当时，由于，则有或.无论哪种情况，两直线都同时垂直于同一坐标轴，并且在该坐标轴上截距不等.故AB∥.此时与C显然相离. 例1、 点是圆内圆心以外的一点，则直线与该圆的位置关系是 （ ） （A）相切 （B）相交 （C）相离 （D）相切或相交 （第七届高二第一试第5题） 解法1 （d--r法） 圆的圆心是O，它到直线的距离，点M在圆的内部且不在圆心，.可知直线与圆相离.故选C. 解法2 （）令，满足题设.此时，直线与圆相离.由正确选择支的唯一性，选C. 评析：①解析几何中，判断直线与圆的位置关系就看圆心到直线的距离与圆的半径的大小关系：直线与圆相离； 直线与圆相切；直线与圆相交. ②由于是选择题，解法2运用特殊化思想求解，显得更简捷.应当指出，特殊值法（包括适当选取特殊点、特殊角、特殊函数、特殊曲线、特殊位置等）通常应是解选择题时首先考虑的方法，一旦用上，简单快捷，可以大量