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解析几何补充练习题 1．已知椭圆C：，F1、F2为其左、右焦点，A为右顶点，过F1的直线l与椭圆相交于P、Q两点，且有 （1）求椭圆长半轴长a的取值范围； （2）若，求直线l的斜率的取值范围。 2．如图所示，已知椭圆的焦距为2c，左右准线分别为l1、l2，长轴顶点为A1、A2，左右焦点分别为F1、F2. （1）过右焦点F2作直线交椭圆于A、B两点， 试判断以线段AB为直径的圆与椭圆右 准线l2的位置关系，并证明你的结论； （2）过椭圆上任意纵坐标非零的点P作直线 PA1与PA2分别交l1于M、N两点. 求证：NF1⊥MF1. 3．如图，已知圆过定点，圆心在抛物线上运动，为圆在轴上所截得的弦. （Ⅰ）证明：当点运动时，为定值. （Ⅱ）当是与的等差中项时，试判断抛物线的准线与圆的位置关系，并说明理由. 4．椭圆左、右焦点分别为F1、F2，P是椭圆上一点，∠F1PF2=60°，设 （1）求椭圆离心率e和的关系式； （2）过P作离心率最小的椭圆的切线，交x轴于Q点，求证：|PF1|=2|PQ|. 5．已知椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，右顶点为A，P是椭圆C1上任意一点，设该双曲线C2：以椭圆C1的焦点为顶点，顶点为焦点，B是双曲线C2在第一象限内的任意一点，且 （1）设，求椭圆离心率； （2）若椭圆离心率成立. 6．已知点P在椭圆分别为椭圆E的左、右焦点，满足 （Ⅰ）求椭圆E的离心； （Ⅱ）若椭圆E的长轴长为6，过点Q（m,0）其中（－3m3，且m≠0）的直线l与 椭圆E相交于两个不同点M、N，且.在x轴上是否存在定点G，使得.若存在，求出所有满足这种条件的点G的坐标；若不存在，说明理由. 7．已知，记点P的轨迹为E. （1）求轨迹E的方程； （2）若直线l过点F2且与轨迹E交于P、Q两点. （i）无论直线l绕点F2怎样转动，在x轴上总存在定点，使恒成立，求实数m的值. （ii）过P、Q作直线的垂线PA、OB，垂足分别为A、B，记，求λ的取值范围. 8．直线AB过抛物线x2=2py（p0）的焦点F，并与其相交于A、B两点，Q是线段AB的中点，M是抛物线的准线与y轴的交点，O是坐标原点. （Ⅰ）求的取值范围； （Ⅱ）过A、B两点分别作此抛物线的切线，两切线相交于N点. 求证：； （Ⅲ）若p是不为1的正整数，当，△ABN的面积的取值范围为［5，20］时，求该抛物线的方程. 9．如图，线段AB过y轴正半轴上一点M（0，m），点A、点B分别在第一、第二象限内，线段AB所在直线的斜率为k（k≠0），两端点A、B到y轴的距离的差为2k。 （1）求以y轴为对称轴，过A，O，B三点的抛物线方程； （2）在问题（1）下，当时， 求直线AB倾斜角的取值范围。 11．在直角坐标平面内，△ABC的两个顶点A，B的坐标分别为A(-1，0)，B(1，0)平面内两点G，M同时满足以下条件： ①；②；③ (Ⅰ)求△ABC的顶点C的轨迹方程； (Ⅱ)过点P(2，0)的直线l与△ABC的顶点C的轨迹交于E，F两点，求的取值范围. 12．如图，已知，N、P两点分别在轴和轴上运动，并且满足， （Ⅰ）求动点Q的轨迹方程； （Ⅱ）若正方形ABCD的三个顶点A、B、C在点Q的轨迹上，求正方形ABCD面积的最小值. ycy x y O P Q N M