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§20-1 傅里叶级数 一、三角函数系的正交性 三角级数: 三角函数系: (线性组合) 正交性: (1) (2) (3) (4) (5) 验证 另易验证,三角函数亦中两相同函数的乘积在上的积分不等于零. ① ② ③ 二、(函数展开成)傅里叶级数 条件: 已知周期T,在上可积,且可展开成逐项可积的三角级数. 即 结论 过程:① ② ③同② 傅里叶级数: ～ 其中 提问: 给一函数 傅里叶级数. 问题解决了? 傅里叶级数收敛性? 收敛的话,其和函数 定理(狭里克雷(Dirichlet)收敛定理) 设在上满足 (1)连续,或还多有有限个第一类间断点 (2)分段单调,且单调区间的个数还多只有有限个 则的傅里叶级数收敛,且其和函数 推论: 1. 取 ～ 2. , 取 ～ 3. 在上是奇函数, 即 ～ -----余弦(傅里叶)级数 4. 在上是奇函数, 即 ～ -----正弦(傅里叶)级数 例1:得 展开成傅里叶级数. 解:① 图示 ② ③ 在上满中收敛定理的条件,在端点处的傅里叶级数在端点处收敛于,而在连续点处收敛于.(和函数) ④ 计算傅里叶系数: ⑤ 因此的傅里叶级数展开式为 例2.设是周期为4的周期函数,在上的表达式为 将展开成傅里叶级数. 解: 图示 满足狭氏条件,在处不连续,因此的傅里叶数 在处收敛于0,而在连续点处,收敛于. 计算傅里叶系数: (∵是奇函数) 因此, 的傅里叶级数展开式为 作业: 1(1) 2(1)