【步步高通用(理)】届高三《考前三个月》专题复习篇【配套Word版文档】专题五第三讲资料.docVIP

第三讲　空间向量与立体几何 1． 直线与平面、平面与平面的平行与垂直的向量方法 设直线l的方向向量为a＝ a1，b1，c1 ．平面α，β的法向量分别为μ＝ a2，b2，c2 ，v＝ a3，b3，c3 以下相同 ． 1 线面平行 l∥αa⊥μ?a·μ＝0a1a2＋b1b2＋c1c2＝0. 2 线面垂直 l⊥αa∥μ?a＝kμa1＝ka2，b1＝kb2，c1＝kc2. 3 面面平行 α∥βμ∥v?μ＝λva2＝λa3，b2＝λb3，c2＝λc3. 4 面面垂直 α⊥βμ⊥v?μ·v＝0a2a3＋b2b3＋c2c3＝0. 2． 空间角的计算 1 两条异面直线所成角的求法 设直线a，b的方向向量为a，b，其夹角为θ，则 cos φ＝|cos θ|＝ 其中φ为异面直线a，b所成的角 ． 2 直线和平面所成角的求法 如图所示，设直线l的方向向量为e，平面α的法向量为n，直线l与平面α所成的角为φ，两向量e与n的夹角为θ，则有sin φ＝|cos θ|＝. 3 二面角的求法 ①利用向量求二面角的大小，可以不作出平面角，如图所示，〈m，n〉即为所求二面角的平面角． ②对于易于建立空间直角坐标系的几何体，求二面角的大小时，可以利用这两个平面的法向量的夹角来求． 如图所示，二面角α－l－β，平面α的法向量为n1，平面β的法向量为n2，〈n1，n2〉＝θ，则二面角α－l－β的大小为θ或π－θ. 1． 2012·陕西 如图所示，在空间直角坐标系中有直三棱柱ABC－A1B1C1，CA＝CC1＝2CB，则直线BC1与直线AB1夹角的余弦值为 A. B. C. D. 答案　A 解析　不妨令CB＝1，则CA＝CC1＝2. 可得O 0,0,0 ，B 0,0,1 ，C1 0,2,0 ，A 2,0,0 ，B1 0,2,1 ， ∴1＝ 0,2，－1 ，1＝ －2,2,1 ， ∴cos〈1，1〉＝＝＝＝ 0. ∴1与1的夹角即为直线BC1与直线AB1的夹角， ∴直线BC1与直线AB1夹角的余弦值为. 2． 2013·辽宁 如图，AB是圆的直径，PA垂直圆所在的平面，C是圆上的点． 1 求证：平面PAC⊥平面PBC； 2 若AB＝2，AC＝1，PA＝1，求二面角C－PB－A的余弦值． 1 证明　由AB是圆的直径，得AC⊥BC， 由PA⊥平面ABC，BC平面ABC，得PA⊥BC. 又PA∩AC＝A，PA平面PAC，AC平面PAC， 所以BC⊥平面PAC. 因为BC平面PBC， 所以平面PBC⊥平面PAC. 2 解　方法一　过C作CM∥AP，则CM⊥平面ABC. 如图，以点C为坐标原点，分别以直线CB、CA、CM为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系． 在Rt△ABC中，因为AB＝2，AC＝1，所以BC＝. 因为PA＝1，所以A 0,1,0 ，B ，0,0 ，P 0,1,1 ． 故C＝ ，0,0 ，C＝ 0,1,1 ． 设平面BCP的法向量为n1＝ x1，y1，z1 ， 则所以 不妨令y1＝1，则n1＝ 0,1，－1 ． 因为A＝ 0,0,1 ，A＝ ，－1,0 ， 设平面ABP的法向量为n2＝ x2，y2，z2 ， 则 所以 不妨令x2＝1，则n2＝ 1，，0 ． 于是cos〈n1，n2〉＝＝. 所以由题意可知二面角C－PB－A的余弦值为. 方法二过C作CM⊥AB于M，因为PA⊥平面ABC，CM平面ABC， 所以PA⊥CM，又PA∩AB＝A，故CM⊥平面PAB.所以CM⊥PB. 过M作MN⊥PB于N，连接NC， 所以PB⊥面MNC，所以CN⊥PB， 所以∠CNM为二面角C－PB－A的平面角． 在Rt△ABC中，由AB＝2，AC＝1， 得BC＝，CM＝，BM＝， 在Rt△PAB中，由AB＝2，PA＝1，得PB＝. 因为Rt△BNM∽Rt△BAP， 所以＝，故MN＝. 又在Rt△CNM中，CN＝， 故cos∠CNM＝. 所以二面角C－PB－A的余弦值为. 题型一　利用空间向量证明平行与垂直 例1　如图所示，平面PAC⊥平面ABC，△ABC是以AC为斜边的等腰直角三角形，E、F、O分别为PA、PB、AC的中点，AC＝16，PA＝PC＝10. 1 设G是OC的中点，证明：FG∥平面BOE； 2 证明：在△ABO内存在一点M，使FM⊥平面BOE. 审题破题　以O点为原点，OB、OC、OP所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，利用向量法可求解． 1 证明　如图所示，连接OP，以O为坐标原点，分别以OB，OC，OP所在直线为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系O—xyz，则O 0,0,0 ，A 0，－8，0 ，B 8,0,0 ，C 0,8,0 ，P 0，0,6 ，E 0，－4,3 ，F 4,0,3 ，由题意得，G 0,4,0 ，因＝ 8,0