《随机过程-孙应飞》随机过程习题解答（习题课 2）.docVIP

随机过程习题解答（二） P228/1。证明：由于，有 其中 所以 证毕。 P229/3. 解：（1）因为是一Poission过程，由母函数的定义，有： （2）有上面（1）的结果，可得： （3）当充分小时，由于： 因此，当时，有： 由（2）的结果，我们有： P229/4. 解：（1）由上面3题的结果（3），我们有： （2）由于是随机过程的母函数，且，将函数关于展开成级数形式，我们可得： 由母函数与分布函数的唯一性定理，可得： P230/8. 解：由特征函数的定义，我们有： 令，则有： （*） 若的概率分布为： 则 （**） 将（**）代入（*），我们有： P230/7. 解：先求的特征函数： 由上面8题的结果，根据特征函数与分布函数的唯一性定理，可知是复合Poission过程。 P231/10. 解：由于 因为的母函数为： ， 由独立性，可知的母函数为： ， 所以是参数为的泊松过程，即 因此我们有： P231/12. 解：（1）由 令，有 解得 （2）由（1）知，服从参数为的泊松分布。 P232/15. 解：（1）以表示时刻系统中不正常工作的信道数，则是一马氏过程，其状态空间为：，矩阵为： （2）令： 则前进方程为： （3）令： 写出福克－普朗克方程： 即有： 做Laplace变换，令： 则有： 由上解得： 其中： 因此求 即可。 （4） P233/16. 解：（1）令表示时刻系统中正在用电的焊工数，则是一马氏过程，其状态空间为：。 （2）矩阵为： （3）令： 写出福克－普朗克方程： （4）画出状态转移率图，可得时的平衡方程： 由此可得： 即有： 由此可以求得： 由 ，即可确定，最终得到所要的结果。 P233/17. 解：（1）由于： 可以得到此过程的矩阵： 令： 写出福克－普朗克方程： 初始条件：。 （2）由数学期望的定义： 由此，我们有： 即可得到描写的微分方程： （3）解上面的微分方程，我们有： P233/19. 解（1）根据题意得到矩阵为 由福克－普朗克方程得： （2） 而 因此 左边 右边 左边 右边，证毕。 （3）将代入左边。 （4）由，有 即 进而有 所以 （5）令，由 4 的结论 其中对应的系数为 所以 （6） （7）由 5 的结论，知 P236/24解： 根据题意得矩阵 由平衡方程，有 因此有 ，进而 因为 所以，当 时系统平稳。 前次以概率重新排队，第次以概率离开，所以即为所求。 26．解 设系统状态为不工作机器的数量，则，得矩阵 列出平衡方程 其中： 解得 所以 P237/28. 解：（1）设泊松分布第个事件发生与第个事件发生的时间间隔的特征函数为：，则有： 由于是独立同分布的，根据 以及特征函数的性质可知： 因此可知是服从参数为的泊松分布，即： （2）由：可知： 附：一阶拟线性（线性）偏微分方程的解法： 一阶拟线性方程的一般形式： 一阶线性方程的一般形式： 称： 或： 为一阶拟线性方程的特征方程。由此方程确定的曲线为特征曲线。一阶拟线性方程的特征方程的解为积分曲面。 有以下定理： 定理：若特征曲线上一点位于积分曲面上，则整个位于上。 初值问题： 给定初始曲线：，为参数。则一阶拟线性方程的初值问题的提法是：求方程的解，使满足。我们有以下定理。 定理：设曲线光滑，且，在点处行列式 又设在附近光滑，则初始问题： 在参数的一邻域内存在唯一解。 例：已知初始曲线，求初值问题： 解：由于： 解常微分方程的初值问题： 得： 由后两式解出，并代入第一式，解得： P233/9. 解初值问题： 由于： 解常微分方程的初值问题： 解得： 在上面式子中消去参数，得初值问题的解： 中科院研究生院2004～2005第一学期 随机过程讲稿 孙应飞