《随机过程-孙应飞》母函数和特征函数简介简介.docVIP

§1 母函数（生成函数）简介 对于取值非负整数的随机变量，其母函数有极其良好的性质且又便于计算和分析，因此引入母函数是非常必要的。母函数又称生成函数 Generating function 。 母函数的定义 定义：对于数列，称幂级数为的母函数。 定义：设为取值于非负整数随机变量，分布率为，则称 为随机变量的概率母函数，简称母函数。 一些常用分布的母函数 若，则 若，则 若，则 母函数的基本性质 （1）的母函数与其分布率是一一对应的，且有 （2）设非负整值随机变量相互独立，而分别是它们的母函数，则的母函数为： （3）设随机变量的母函数为，则有： （a） （b） 母函数的应用 设独立同分布，且，求的分布。 设独立，且，证明。 设独立，且，证明。 §2 特征函数 特征函数的定义 定义：如果均为概率空间上的实值随机变量，则称为一复随机变量，且定义复随机变量的数学期望为。 由以上定义，有。 定义：若随机变量的分布函数为，则称： 为随机变量的特征函数（c.f.） 特征函数其实就是随机变量函数的数学期望。 特征函数的简单性质 （1）由于，所以对任意随机变量，特征函数都有意义 （2）特征函数是一实变量的复值函数 （3）特征函数只与分布函数有关，因此又称为某一分布的特征函数 （4）若的特征函数为，则的特征函数为函数 （5） （6）对离散型的随机变量，其分布率为，则其特征函数为，若是连续型随机变量，概率密度为，则其特征函数为。 2．几种常见分布的特征函数 若，则 若，则 若，则 特征函数的性质 性质1 ，且。2 在上一致连续 3 若存在，则对于，阶可导，且 性质4 具有非负定性，即对于任意的正整数及任意的实数与复数，总有： 性质5 设相互独立，分别为它们的特征函数，则的特征函数为 特征函数与分布函数的关系 定理1：分布函数到特征函数的变换是一一对应的。 定理2：分布函数序列与分布函数具有关系： （对任意的连续点） 当且仅当： 其中是的特征函数，是的特征函数。 中国科学院大学2014～2015第一学期 随机过程讲稿 孙应飞