第3章解线性方程组的直接方法.pptVIP

数值计算方法 第三章 解线性方程组的直接方法 上述消元过程除第一个方程不变以外, 第2—第 n 个方程全消去了变量 ?1，而系数 和常数项全得到新值： 回代过程算法 高斯主元素消去法 Gauss消去法的矩阵表示 LU形式 直接计算 A 的 LU 分解 例 一般计算公式 LU 分解求解线性方程组 §5.向量和矩阵的范数 矩阵A的谱半径 5.6 误差分析 二、误差分析 二、矩阵的范数 矩阵范数例 与前述三种向量范数相容的三种矩阵范数： 求矩阵A的各种常用范数 解: 由于 特征方程为 容易计算 计算较复杂 对矩阵元素的 变化比较敏感 使用最广泛 性质较好 Re Im ? ? ? ? ? ? ? ? ? A 定理1. 与假设矛盾 i+1行 i+1行 定理 若A的所有顺序主子式 /* determinant of leading principal submatrices */ 均不为0，则 A 的 LU 分解唯一（其中 L 为单位下三角阵）。 证明：由§1中定理可知，LU 分解存在。下面证明唯一性。 若不唯一，则可设 A L1U1 L2U2 ，推出 Upper-triangular Lower-triangular With diagonal entries 1 ? 注： L 为一般下三角阵而 U 为单位上三角阵的分解称为Crout 分解。 实际上只要考虑 A* 的 LU 分解，即 ，则 即是 A 的 Crout 分解。 计算量与 Gauss 消去法同. ? 平方根法 /* Choleski’s Method */： ——对称 /* symmetric */ 正定 /* positive definite */ 矩阵的分解法 定义 一个矩阵 A aij n?n 称为对称阵，如果 aij aji 。 定义 一个矩阵 A 称为正定阵，如果 对任意非零向量 都成立。 因此 Diagonal:对角 为非奇异下三角阵 为非奇异上三角阵