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第一章 集合与映射 习 题 1.1 集合 ⒈ 证明由个元素组成的集合有个子集。 解 由个元素组成的子集的个数为，。 ⒉ 证明： (1) 任意无限集必包含一个可列子集； (2) 设与都是可列集，证明也是可列集。 证 （1）设是一个无限集，先取。由于是无限集，必存在，。再由是无限集，必存在，，。这样的过程可以无限进行下去，于是得到可列集，。 （2）设，，则可表示为 。 ⒊ 指出下列表述中的错误： (1) ； (2)； (3) ； (4) 。 解 （1）是由元素构成的集合，不是空集。 （2）是集合的元素，应表述为。 （3） 是集合的子集，应表述为。 （4）是由和为元素构成的集合，所以，但。 ⒋ 用集合符号表示下列数集： (1) 满足的实数全体； (2) 平面上第一象限的点的全体； (3) 大于0并且小于1的有理数全体； (4) 方程的实数解全体。 解（1）。 （2）。 （3）。 （4）。 ⒌ 证明下列集合等式： (1) ； (2) 。 证（1）设，则，并且或者，或者。于是或者，或者，即，因此 ； 设，则或者，或者。于是，并且或者，或者，即，因此 。 （2）设，则，即且，于是，因此 ； 设，则且，即，于是，因此 。 ⒍ 举例说明集合运算不满足消去律： (1) ≠ ； (2) ≠ 。 其中符号“ ≠ ”表示左边的命题不能推出右边的命题。 解 （1）设，，，则，但。 （2）设，，，则，但。 ⒎ 下述命题是否正确?不正确的话，请改正。 (1) 并且 ； (2) 或者 。 解（1）不正确。 或者 。 （2）不正确。 并且 。 习 题 1.2 设,，问有多少种可能的映射? 其中哪些是双射?种可能的映射种是双射，它们是 ，，，，，。 2. (1) 建立区间与之间的一一对应； (2) 建立区间与之间的一一对应。 1） ； （2） 。 3. 将下列函数和构成复合函数，并指出定义域与值域： (1) , ; (2) , ； (3) ,； (4) ,。1），定义域：，值域：； （2），定义域：，值域：； （3），定义域：，值域：； （4），定义域：，值域：。 4. 指出下列函数是由哪些基本初等函数复合而成的： (1) ; (2) 。1），，； （2），，。 5. 求下列函数的自然定义域与值域： (1) （）； (2) ； (3) ； (4) 。1）定义域：，值域：； （2）定义域：，值域：； （3）定义域：，值域：； （4）定义域：，值域：。 6. 问下列函数和是否等同？ (1) ，； (2) , ； (3) ,。函数和等同函数和等同函数和等同7. (1) 设,求； (2) 设,求。1）令，则，代入等式，得到 ， 所以； （2）令，则，代入等式，得到 ，所以。 8. 设,求，,的函数表达式。1）； ； 。 证明：定义于上的任何函数都可以表示成一个偶函数与一个奇函数之和。是偶函数，是奇函数，而 。 写出折线所表示的函数关系的分段表示，其中，，，。。 y 2 x 图 1.2.8 图 1.2.9 设表示图1.2.8中阴影部分面积，写出函数, 的表达式。。 一玻璃杯装有汞、水、煤油三种液体，比重分别为13.6，1，0.8克／厘米３(图1.2.9)，上层煤油液体高度为5厘米，中层水液体高度为4厘米，下层汞液体高度为2厘米，试求压强与液体深度之间的函数关系。。 13. 试求定义在上的函数，它是与之间的一一对应，但在的任一子区间上都不是单调函数。 。 7