根的定义求解.docVIP

巧用方程根的定义解题 湖北省秭归县实验中学（443600） 颜伏刚 本文介绍怎样利用方程根的定义构造方程，巧解一类数学题。 例1. 已知，且有及，求的值。 分析：第二个方程可变形为： 从而可逆用一元二次方程根的定义构造方程，即可求值。 解：由已知，故将第二个方程的两边同除以得： 而且 所以是方程的两个不等根。 由韦达定理得： 例2. 已知：，且满足，求的值。 分析：因代数式可变形为： 故只需求出和ab即可，而这由题设容易求得。 解：由题设可知是方程的两个根，所以。 从而 例3. 设一元二次方程的两根之和为p，两根平方和为q，两根立方和为r，求证：。 分析：本题的常规解法是先根据韦达定理求出两根之和、两根平方和、两根立方和，然后代入求证式化简，但这样做计算繁琐，若用方程根的定义证明，则显得简捷、迅速。 证明：设二次方程的两根为，则 所以 得： 即 例4. 是方程的两根，求的值。 分析：本题如果将所求代数式展开，然后再用韦达定理求值，计算较繁，而用方程根的定义，会使计算简化。 解：因为是方程的两根，则 且 从而得 所以 例4. 已知实数a、b、c满足：，求证：。 分析：观察发现：，促使我们以a、b为根构造一元二次方程，然后用判别式求出c，证得结论成立。 证明：由题意得：，所以a、b是方程 的两个根，由于a、b、c为实数，所以 应大于或等于零，所以，从而。 故方程有等根，即。 1