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线 性 代 数 卫淑芝 数学系 方矩的迹（trance) * 教材：线性代数 上海交通大学出版社 1. 线性代数 习题与精解（ 上海交通大学数学系） 上海交通大学出版社 参考书： 2. 线性代数 试卷剖析（ 上海交通大学数学系） 上海交通大学出版社 3. 线性代数 复习指导（ 北京大学数学科学学院） 机械工业出版社 1. 线性型 矩阵概念的引入 对线性型的研究可转化为对这张表的研究. 线性型的系数按原位置可排为 由 个数 排成的 行 列的数表 称为 矩阵.简称 矩阵. 记作 矩阵的定义 简记为: 其中的数称为矩阵的元素 元素是实数的矩阵称为实矩阵, 元素是复数的矩阵称为复矩阵. 例如 是一个3 阶方阵. 几种特殊矩阵 (2)行阵(或行向量). ： 只有一行的矩阵 （1）方阵： 行数与列数都等于的矩阵阶数 列矩阵(或列向量):只有一列的矩阵 形如 的方阵, 不全为0 （3）对角阵 记作 . 全为1 （4）单位矩阵（或单位阵） 同型矩阵与矩阵相等的概念 两个矩阵的行数相等,列数相等时,称为同型矩阵. （4）零矩阵:元素全为零的矩阵.记作 或 注意 不同阶数的零矩阵是不相等的. 两个矩阵为同型矩阵,并且对应元素相等称两个矩阵相等. 即 若 则称矩阵 相等,记作 矩阵运算 加法 数与矩阵相乘 矩阵的乘法 转置矩阵 对称阵与反对称阵 矩 阵 的 运 算 矩阵的迹 矩阵的加法 说明 只有当两个矩阵是同型矩阵时，才能进行加法运算. 矩阵加法的运算规律 称为矩阵A的负矩阵 数与矩阵相乘 数乘矩阵的运算规律 矩阵相加与数乘矩阵合起来,统称为矩阵的线性运算. （设 为 矩阵， 为数） 矩阵的乘法 规定矩阵A 与矩阵 B 的乘积是一个 C 矩阵, 即 规定 其中 例 计算下列乘积： 解 注　只有当第一个矩阵的列数等于第二个矩阵 的行数时，两个矩阵才能相乘. 例如 不存在. 例 Em A = A, A En = A 例 注　矩阵乘法不满足交换律，即，一般情况下 注： 如果 称A与B 可交换. 注：矩阵乘法不满足消去律，即， ? 例 但 或 ２、矩阵乘法的运算规律 （其中 为数）; 其中 aij = aji =( ) 例 计算下列乘积： 解 矩阵乘法的引入 使得某些问题的表示变得简单 方程组可以用矩阵的形式表示为 考虑线性方程组 方程组的系数矩阵 例 变量 到 关系 变换矩阵 称为线性变换 线性变换的矩阵表示：y = A x 线性变换的矩阵 线性变换 对应 这是一个以原点为中心 旋转 角的旋转变换. 矩阵表示：y1 = B x 若A是n阶矩阵 方阵的幂及其矩阵的多项式 运算规律 其中, m k 为非负正数 方阵的多项式 例. 设 求 设多项式函数： 则 解 例 由此归纳出 用数学归纳法证明 当 时，显然成立. 假设 时成立，则 时， 所以对于任意的 都有 例 求 An 设 解 矩阵 A 的各行成比例，故可表示为 列矩阵与行矩阵的乘积，记 故 因而 如A与B 可交换，则 注： 等一些等式成立. ? ? *