陕西省安康市紫阳县紫阳中学初中部数学中考教学指导课件(第5讲_二次根式及其运算).ppt

数 学 第一章　数与式 第5讲　二次根式及其运算 要点梳理 1 ． 二次根式的概念 式子 叫做二次根式． 2 ． 二次根式的性质 (1)( a ) 2 ＝ 。 (2) a 2 ＝ | a | ＝ ? ? í ? ì a （ a ＞ 0 ） ； 0 （ a ＝ 0 ） ； － a （ a ＜ 0 ） Ｗ . a(a≥0) 要点梳理 3 ． 二次根式的运算 (1) 二次根式加减法的实质是合并同类根式； (2) 二次根式的乘法： a · b ＝ ； (3) 二次根式乘法 的反用： ab ＝ ； (4) 二次根式的除法： a b ＝ ； (5) 二次根式除法的反用： a b ＝ ． 要点梳理 4．最简二次根式 运算结果中的二次根式，一般都要化成最简二次根式．最简二次根式，需满足两个条件： (1)被开方数不含分母； (2)被开方数中不含开得尽方的因数或因式． “ 双重非负性 ” 算术平方根 a 具有双重非负性 ， 一是被开方数 a 必须 是非负数 ， 即 a ≥ 0 ；二是算术平方根 a 的值是非负数 ， 即 a ≥ 0. 算术平方根的非负 性主要用于两方面： ( 1 ) 某些二次根式的题目中隐含着 “ a ≥ 0 ” 这个条件 ， 做 题时要善于挖掘隐含条件 ， 巧妙求解； ( 2 ) 若几个非负数的和为零 ， 则每一个非负数都等于零 ． 两个防范 ( 1 ) 求 a 2 时 ， 一定要注意确定 a 的大小 ， 应注意利用等 式 a 2 ＝ | a | ， 当问题中已知条件不能直接判定 a 的大小时 就要分类讨论； ( 2 ) 一般情况下 ， 我们解题时 ， 总会习惯地把重点放在探 求思路和计算结果上 ， 而忽视了 一些不太重要、不直接 影响求解过程的附加条件和隐含条件 ． 要特别注意 ， 问 题中的条件没有主次之分 ， 都必须认真对待 ． 求值问题“五招” (1)巧用平方；(2)巧用乘法公式；(3)巧用配方；(4)巧用换元；(5)巧用倒数． 二次根式概念与性质 【例 1 】 ( 1 ) 等式 2 k － 1 k － 3 ＝ 2 k － 1 k － 3 成立 ， 则实数 k 的 范围是 ( ) A ． k ＞ 3 或 k ＜ 1 2 B ． 0 ＜ k ＜ 3 C ． k ≥ 1 2 D ． k ＞ 3 D (2) 已知 a ， b ， c 是 △ ABC 的三边长 ， 试化简： （ a ＋ b ＋ c ） 2 ＋ （ a － b － c ） 2 ＋ （ b － c － a ） 2 ＋ （ c － a － b ） 2 . 解：原式＝|a＋b＋c|＋|a－b－c|＋|b－c－a|＋ |c－a－b|＝(a＋b＋c)＋(b＋c－a)＋(c＋a－b)＋ (a＋b－c)＝2a＋2b＋2c 【点评】 ( 1 ) 对于二次根式 ， 它有意义的条件是被 开方 数大于或等于 0 ； ( 2 ) 注意二次根式性质 ( a ) 2 ＝ a ( a ≥ 0 ) ， a 2 ＝ | a | 的区别 ， 判断出各式的正负性 ， 再化简 ． 1 ． ( 1 )( － 2 ) 2 的平方根是 ； 9 的算术平方根是 __ __ ； __ __ 是－ 64 的立方根 ． ( 2 ) ( 2014· 达州 ) 二次根式 － 2x ＋ 4 有意义 ， 则实数 x 的取 值范围是 ( ) A ． x ≥ － 2 B ． x ＞－ 2 C ． x ＜ 2 D ． x ≤ 2 3 -4 D ( 3 ) 如果 （ 2 a － 1 ） 2 ＝ 1 － 2 a ， 则 ( ) A ． a ＜ 1 2 B ． a ≤ 1 2 C ． a ＞ 1 2 D ． a ≥ 1 2 B 二次根式的运算 【例 2 】 (1) ( 2014· 济宁 ) 如果 ab ＞ 0 ， a ＋ b ＜ 0 ， 那么下面 各式： ① a b ＝ a b ， ② a b · b a ＝ 1 ， ③ ab