初探高考数学试题中的“思想方法”.docVIP

初探高考数学试题中的“思想方法” --观《2012年普通高等学校招生全国统一考试（新课标全国卷）》有感 河南省鹤壁高中 蔡凤敏 caifengmin1981@126.com 1座机电话号码32 摘要：高考试题十分重视对于数学思想方法的考查，函数与方程思想、数形结合思想、分类讨论思想和转化与化归思想这四种思想是高考的必考内容，也是高考的考查重点；通过对2012年新课标全国卷的探析，我们可以发现此卷有两大特点：一是同一数学思想的考察频率高；二是同一道题上集中体现多种数学思想。 关键词：高考试题 2012年新课标全国卷 数学思想方法 函数与方程思想 数形结合思想 分类讨论思想 转化与化归思想 高考试题十分重视对于数学思想方法的考查,对数学思想和方法的考察是对数学知识在更高层次上的抽象和概括的考察。数学思想和数学基本方法蕴含了数学基础知识的运用，表现为数学观念，它与数学知识的形成同步发展，同时又贯穿于数学知识的学习、理解和应用过程。因此，对数学思想和方法的考查必然要与数学知识的考查结合进行，通过对数学知识的考查，反映考生对数学思想和方法理解和掌握的程度上的点到直线y x的距离为,设函数， 不难得出，所以，又由于图像关于y x对称，。 思路二，求平行于y x的直线与相切时的切点坐标，令解得x ln2,所以切点坐标为（ln2,1）,它关于y x的对称点坐标为 1,ln2 ,两点间的距离为，此即为所求。 二、数形结合思想 数形结合思想渗透于众多试题中，如第4,7,8,10,11,12,14,19,20,23题。数形结合思想包含“以形助数”和“以数辅形”两个方面，它的考察要求考生会根据数的结构特征构造出与之相应的几何图形，并利用图形的特性和规律解决数的问题；或将图形信息全部转化成代数信息，使解决形的问题转化为数量关系的讨论。例如第14题考察可行域与目标函数的问题，把数转化为形；第23题已知点的极坐标为且依逆时针次序排列，求点的直角坐标，由图可知点的极角依次增加,点的极坐标为, 点的直角坐标为,充分展示了把形转化为数；解析几何题第4,8,20题和立体几何题第7,11,19题则是在数与形之间相互转化。 三、分类讨论思想 分类讨论思想考察了考生的逻辑思维能力和思维的缜密性，它实际上是一种化整为零、分别对待、各个击破的思维策略。 如第1题，受集合B中的条件限制需以x或y为对象进行分类讨论； 第5题则是由计算结果有两个需进行分类讨论； 第18题是一道应用题，它则是根据实际问题的具体分析引起的分类讨论； 第20题确定直线m的斜率时是由于图形的不确定性引起的分类讨论； 第21题第二问求的最大值是由参数取值不同需对“”进行分类讨论； 第24题第一问中解不等式需去掉绝对值，由绝对值的定义引起的分类讨论。 四、转化与化归思想 转化与化归思想是把未知解的问题转化到在已有知识范围内可解的问题的一种重要的思想方法.通过不断的转化,把不熟悉、不规范、复杂的问题转化为熟悉、规范甚至模式法、简单的问题.著名的数学家,莫斯科大学教授C.A.雅洁卡娅曾在一次向数学奥林匹克参赛者发表《什么叫解题》的演讲时提出：“解题就是把要解题转化为已经解过的题”.数学的解题过程,就是从未知向已知、从复杂到简单的化归转换过程。 如第10题函数是一个比较复杂的函数，对于函数的性质难以探究，可以把问题转化为探究（x -1）的性质，由得函数单调性是在（-1,0）上单调递增，在第四象限单调递减且在x 0时，从而y≤0恒成立，当且仅当x 0时，所以原函数定义域为｛x|x -1且x≠0｝,单调性是在（-1,0）上单调递减，在第四象限单调递增。 第12题由前面分析可知，可以把求最值问题转化为点到直线的距离或两点间的距离问题。 第17题把角B转化为角A与角C; 第19题第二问，考生可以把求二面角的问题转化为求两个半平面法向量夹角的问题； 第20题第一问，根据抛物线的定义把转化为点A到直线l的距离为； 第21题第二问，由已知得≥b,分类讨论如下 若a+1 0,则对任意常数b,当x 0,且x 时，可得 b,不符题意； 若a+1 0,则; 若a+1 0,可将不等式问题转化为函数问题，令，则 当x ln a+1 时 0;当x ln a+1 时 0;故 所以≥等价于b≤ 因此≤ 观察不等式左侧，易知转化为所求最值问题 令 将不等式问题转化为函数问题,建立目标函数求最值，其中还涉及到常量问题转化为变量问题 0 x 时， 0;x 时， 0; ；故当，有最大值. 此题中数次用到转化与划归思想使解题过程更具灵活性，同时又结合分类讨论思想的应用，达到一题多种数学思想的集中体现，极大程度地考察了考生的应变能力和思维能力。 通过对2012年新课标全国卷的探析，我们可以发现此