函数知识点小结.docVIP

函数 （一）函数的概念与表示 1．函数的概念：设是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系，使对于集合中的任意一个数，在集合中都有唯一确定的数和它对应，那么就称为从集合到集合的一个函数。记作：，。其中，叫做自变量，的取值范围叫做函数的定义域；与的值相对应的值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域。 注意：（1）“”是函数符号，可以用任意的字母表示，如“”； （2）函数符号“”中的表示与对应的函数值，一个数，而不是乘。 【EG】判断下列对应能否表示是的函数： （1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）。 【EG】判断下列图象能表示函数图象的是（ ） 2．构成函数的三要素：定义域、对应关系和值域 （1）解决一切函数问题必须认真确定该函数的定义域，函数的定义域包含三种形式： ①自然型：指函数的解析式有意义的自变量的取值范围（如：分式函数的分母不为零，偶次根式函数的被开方数为非负数，对数函数的真数为正数，等等）； ②限制型：指命题的条件或人为对自变量的限制，这是函数学习中重点，往往也是难点，因为有时这种限制比较隐蔽，容易犯错误； ③实际型：解决函数的综合问题与应用问题时，应认真考察自变量的实际意义。 【EG】函数的定义域是（ ） A B C D 【EG】函数的定义域为?????????????的定义域为，的定义域为，则=????????????? （2）求函数的值域是比较困难的数学问题，中学数学要求能用初等方法求一些简单函数的值域问题。 ①配方法（将函数转化为二次函数）；②判别式法（将函数转化为二次方程）；③不等式法（运用不等式的各种性质）。 【EG】函数的值域是_____________. 【EG】函数的值域是__________， 3．两个函数的相等： 函数的定义含有三个要素，即定义域、值域和对应法则。当函数的定义域及从定义域到值域的对应法则确定之后，函数的值域也就随之确定。因此，定义域和对应法则为函数的两个基本条件，当且仅当两个函数的定义域和对应法则都分别相同时，这两个函数才是同一个函数。 【EG】在下列四组函数中，与表示同一函数是 B C D 【EG】下列函数中哪个与函数是同一个函数？ ⑴； ⑵； ⑶ 4．区间 （1）区间的分类：开区间、闭区间、半开半闭区间； （2）无穷区间； （3）区间的数轴表示。 5．常用的函数表示法 （1）解析法：就是把两个变量的函数关系，用一个等式来表示，这个等式叫做函数的解析表达式，简称解析式； （2）列表法：就是列出表格来表示两个变量的函数关系； （3）图象法：就是用函数图象表示两个变量之间的关系。 【EG】已知函数，求。 【EG】某种笔记本每个5元，买个笔记本的钱数记为（元），试写出以为自变量的函数的解析式，并画出这个函数的图像。 【EG】已知函数，当，对应的函数值是 ，当，对应的函数值是 。 6．映射的概念 一般地，设是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应法则，使对于集合中的任意一个元素，在集合中都有唯一确定的元素与之对应，那么就称对应为从集合到集合的一个映射。记作。 函数是建立在两个非空数集间的一种对应，若将其中的条件“非空数集”弱化为“任意两个非空集合”，按照某种法则可以建立起更为普通的元素之间的对应关系，这种的对应就叫映射。 如果集合A中的元素和集合B中的元素对应，则元素叫做元素的象，元素叫做元素的原象。由此可知，映射是函数的推广，函数是一种特殊的映射。 注意：（1）这两个集合有先后顺序，到的映射与到的映射是截然不同的．其中表示具体的对应法则，可以用汉字叙述。 （2）“都有唯一”什么意思？ 包含两层意思：一是必有一个；二是只有一个，也就是说有且只有一个的意思。 【EG】映射把集合中的元素映射到集合中的元素，在映射下，象20的原象是（ ） 函数二、函数的定义域 知识点——求函数定义域的几种常见类型 1）已知函数定义域只要注意： ①分母不为0；②偶次根式非负；③对数真数大于0，底数；④中； 【EG】求下列函数的定义域： ① ② ③ ④ ⑤ 解：①要使函数有意义，必须： 即： ∴函数的定义域为： [] ②要使函数有意义，必须： ∴定义域为：{x|} ③要使函数有意义，必须：( ∴函数的定义域为： ④要使函数有意义，必须： ∴定义域为： ⑤要使函数有意义，必须：， 即x或x ∴定义域为： 1、求下列函数的自变量的取值范围 （1）； （2）； （3）； （4）； （5）； （6） 2、求函数的定义域： ① ② ③