九年级数学下册28.1圆的对称性华东师大版.docVIP

§28.1.2圆的认识---圆的对称性 教学目标 知识与技能 1．认识圆的对称性，知道圆既是轴对称图形，又是中心对称图形； 2．垂径定理及其逆定理．3．能说出等弦、等弧之间的关系，能灵活运用垂径定理及逆定理进行有关计算和证明. 过程与方法 1．通过折叠、旋转的动手实验，多观察、探索、发现圆中圆心、弧、弦之间的关系，体会研究几何图形的各种方法； 2．利用圆的对称性通过折叠来发现垂径定理，充分体验探索的过程. 情感与价值观要求 通过学习垂径定理及其逆定理的证明，使学生领会数学的严谨性和探索精神，培养学生实事求是的科学态度和积极参与的主动精神． 教学重难点 重点：（1）揭示与圆有关的本质属性；（2）垂径定理探索及其应用. 难点：垂径定理探索及其应用. 教学方法 启发式教学 教学媒体 多媒体，圆规，直尺，半透明纸 投影片两张： 第一张：做一做(记作§3．2．1A)第二张：想一想(记作§3．2．1B) 教学过程 Ⅰ．创设问题情境，引入新课 [师]前面我们已探讨过轴对称图形，哪位同学能叙述一下轴对称图形的定义？ [生]如果一个图形沿着某一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫轴对称图形，这条直线叫对称轴． [师]我们是用什么方法研究了轴对称图形？ [生]折叠． [师]今天我们继续用前面的方法来研究圆的对称性． Ⅱ．讲授新课 [师]同学们想一想：圆是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？你能找到多少条对称轴？ [生]圆是轴对称图形，过圆心的直线是它的对称轴，有无数条对称轴． [师]是吗？你是用什么方法解决上述问题的？大家互相讨论一下． [生]我们可以利用折叠的方法，解决上述问题．把一个圆对折以后，圆的两半部分重合，折痕是一条过圆心的直线，由于过圆心可以作无数条直线，这样便可知圆有 [师]很好． 教师板书： 圆是轴对称图形，其对称轴是任意一条过圆心的直线． 下面我们来认识一下弧、弦、直径这些与圆有关的概念． 1．圆弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧(arc)． 2．弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦(chord)． 3．直径：经过圆心的弦叫直径(diameter)． 如下图，以A、B为端点的弧记作，读作“圆弧AB”或“弧AB”；线段AB是⊙O的一条弦，弧CD是⊙O的一条直径． 注意： 1．弧包括优弧(major arc)和劣弧(minor arc)，大于半圆的弧称为优弧，小于半圆的弧称为劣弧．如上图中，以A、D为端点的弧有两条：优弧ACD(记作)，劣弧ABD(记作)．半圆：圆的任意一条直径的两个端点分圆成两条弧，每一条弧叫半圆弧，简称半圆．半圆是弧，但弧不一定是半圆；半圆既不是劣弧，也不是优弧． 2．直径是弦，但弦不一定是直径． 下面我们一起来做一做：(出示投影片§3．2．1A) 按下面的步骤做一做： 1．在一张纸上任意画一个⊙O，沿圆周将圆剪下，把这个圆对折，使圆的两半部分重合． 2．得到一条折痕CD． 3．在⊙O上任取一点A，过点A作CD折痕的垂线，得到新的折痕，其中，点M是两条折痕的交点，即垂足． 4．将纸打开，新的折痕与圆交于另一点B，如上图． [师]老师和大家一起动手． (教师叙述步骤，师生共同操作) [师]通过第一步，我们可以得到什么？ [生齐声]可以知道：圆是轴对称图形，过圆心的直线是它的对称轴． [师]很好．在上述的操作过程中，你发现了哪些相等的线段和相等的弧？ [生]我发现了，AM＝BM，，． [师]为什么呢？ [生]因为折痕AM与BM互相重合，A点与B点重合． [师]还可以怎么说呢？能不能利用构造等腰三角形得出上面的等量关系？ [师生共析]如下图示，连接OA、OB得到等腰△OAB，即OA＝OB．因CD⊥AB，故△OAM与△OBM都是Rt△，又OM为公共边，所以两个直角三角形全等，则AM＝BM．又⊙O关于直径CD对称，所以A点和B点关于CD对称，当圆沿着直径CD对折时，点A与点B重合，与重合，与重合．因此AM＝BM，=，=． [师]在上述操作过程中，你会得出什么结论？ [生]垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧． [师]同学们总结得很好．这就是利用圆的轴对称性得到的与圆相关的一个重要性质——垂径定理．在这里注意；①条件中的“弦”可以是直径．②结论中的“平分弧”指平分弦所对的劣弧、优弦． 下面，我们一起看一下定理的证明： (教师边板书，边叙述) 如上图，连结OA、OB，则OA＝OB． 在Rt△OAM和Rt△OBM中， ∵OA＝OB，OM＝OM， ∴Rt△OAM≌Rt△OBM， ∴AM＝BM． ∴点A和点B关于CD对称． ∵⊙O关于直径CD对称， ∴当圆沿着直径CD对折时，点A与点B重合，与重合，与重合． ∴=，=． [师]为了运用的方便，不易出现错误，易于记忆，可将原定理叙述为：一条