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习题问题讨论 —— 固体物理_黄昆 3.2 讨论N个原胞的一维双原子链（相邻原子间距为a），其2N个格波解，当M=m时与一维单原子链的结果一一对应 ? 质量为M的原子位于2n-1， 2n+1， 2n+3 ……。 质量为m的原子位于2n， 2n+2， 2n+4 ……。 牛顿运动方程 —— N个原胞，有2N个独立的方程 方程 的解 代回到运动方程 A、B有非零解 两种不同的格波的色散关系 —— 对应一个q有两支格波：一支声学波和一支光学波。总的格波数目为2N —— 两种色散关系如图所示 长波极限情况下 —— 与一维单原子晶格格波的色散关系一致 3.3质量相同两种原子形成一维双原子链，最近邻原子间的力常数交错等于 和 ，并且最近邻的间距 1) 求出色散关系和分析计算 处格波的频率值 2) 大致画出色散关系图 ? 绿色标记的原子位于2n-1， 2n+1， 2n+3 …… 红色标记原子位于2n， 2n+2， 2n+4 …… —— 第2n个原子和第2n＋1个原子的运动方程 —— 体系N个原胞，有2N个独立的方程 —— 方程的解 令 —— A、B有非零的解，系数行列式满足 —— —— 两种色散关系 —— 色散关系图 —— 两种色散关系 3.6 计算一维单原子链的频率分布函数?(?) ? 设单原子链长度 波矢取值 每个波矢的宽度 状态密度 dq间隔内的状态数 对应?q，?取值相同， d?间隔内的状态数目 一维单原子链色散关系 令 两边微分得到 d?间隔内的状态数目 代入 频率分布函数 3.7 设三维晶格的光学振动在q=0附近的长波极限有： 证明：频率分布函数 ? 三维晶格振动的态密度 dq间隔内的状态数 对 两边微分得到 将dq和 代入 得到 时 为虚数，有 方法 2 振动模式密度函数 —— 对于q空间的等频率面，波矢q为常数 已知三维色散关系 因为对于光学波，在 处振动频率具有最大值 频率分布函数 习题:1.已知一维单原子链,其中第j个格波,在地n个格点引起的位移 为 为任意相位因子.并已知在较高温下每个格波的平均能量为kT,具体计算每个原子的平方平均位移. 2. 有N个原子组成面积为S的二维晶格,在德拜近似下计算比热,并论述在低温极限比热正比于T2.
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