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微观经济学 理想生活成本指数与拉氏指数和派氏指数之间的关系 安徽工业大学数理学院 汪贝贝 中文摘要：本文主要是论述在理想状态下的生活成本指数（Ideal cost-of-living index）与两类典型的物价指数——拉氏物价指数(Laspeyres index)和派氏物价指数(Paasche index)之间的关系。主要的处理方式是用效用函数理论和在可使用的、有限的既定预算下的消费者的选择商品的动机原理，而且加上初等的数学原理来说明生活成本指数与拉氏物价指数和派氏物价指数之间的关系。在此基础上文中还有关于通常CPI的计算方式扩大了通货膨胀的原因的解释同时给出了一定的统计数据加以说明。 英文摘要：The main idea of this article is treats the relationship of Ideal cost-of-living index,Laspeyres index and Paasche index.Utility function theory and inducement of the consumer choose merchandises when their income is limited;whas more we also use elementary mathematics to explain the relationship of Ideal cost-of-living index,Laspeyres index and Paasche index.Base above paragraphs the text told something about why ordinarily count method to abbr.Consumer Price Index(CPI) enlarge inflation,and there is statistic data to prove this thing. 关键词 指数 关系 CPI 通货膨胀 文中论述问题的前提是满足一般经济学的基本假设条件，而且将其论述问题的范围先放在两种商品的选择上，假设就是事物F和衣服C。 首先引进效用函数，可以将经济学中提到的无差异性曲线看成效用函数。对于效用函数的具体说明这里不作详细论述，文中主要使用效用函数的一点是U（F，C）=K，（K是常数）。对于取定的K来说，效用函数图象（实质上就是反比例函数图象）如下： C C F （函数图象） F （预算线） 接下来还要引进预算线表明了在购买F和C 的总支出等于收入I的情况下的F和C 所有组合。如果假设F的价格是PF，C的价格是PC，那么可以得到下式： F*PF+C*PC=I （1） 实际上（1）的图象就是一次函数图象（如上），而且该一次函数图象的变化在I一定的情况下应该是与PF，PC有关。 在有上面的两个基本的概念的说明的基础上引进下面的消费者选择，假设消费者是按理性的方式进行选择的，即他们选择商品的动机是，在可使用的、有限的既定预算下，使他们能获得的满足最大化。那么可以很明显的得到要满足最大化就必须使预算线与等效用曲线相切（关于这一点的论述请参考文末的参考文献）。这是下文推导生成本指数与拉氏物价指数和派氏物价指数之间的关系的重要前提。 下面就着手推导理想生活成本指数与拉氏物价指数和派氏物价指数之间的关系，将预算线与等效用曲线统一到一个直角坐标系中（如下）： C l1 K/F1 l2 K/ F2 F*C=K F1 F2 F 假如在一开始的状态下预算线是l1，它是与等效用曲线F*C=K是相切的，由于F和C价格和I等变化可能使l1变为了l2（那么这一点假设通常情况下是没有问题的）。短时间内F和C价格和I等变化不会使得等效用曲线有太大的变化的，所以在l2的预算线下要达到最大化的条件仍然是l2要与等效用曲线F*C=K是相切。假设在l1和l2两种预算线下达到最大化的F分别是F1和F2，那么在满足F*C=K的条件下，对应C分别是K/F1，K/ F2。 F*C=K C=K/F，对此表达式求导可得C’=-K/F2。 假设l1的表达式是：C=-K/F12*F+B1 将（F1，K/F1）代入上式可得B1=2K/F1，那么l1的方程就是C=-K/F12*F+2K/F1，即： F12*C+K*F=2K*F1 （2） 那么用同样的方法可以假设l2的表达