高考数学复习点拨高考前排列组合与概率概率易错问题辨析试题.doc

高考前排列组合与概率概率易错问题辨析 交点：圆内还是圆外 例1. 圆周上有12个不同的点，过其中任意两点作弦，这些弦在圆内的交点个数是______ 错解：因为两条直线相交有且只有一个交点，从12个点中任取2个可确定条直线，从剩下10个点中任取2个可确定条直线，根据乘法原理，有个交点。这里错误的原因在于这些直线所产生的交点有可能在圆外了，而题目要求这些交点在圆内。 正解：因为两条直线相交有且只有一个交点，任意一个凸四边形在圆内的交点即为两条对角线的交点，有且只有一个。而要得到一个四边形，需要从12个点中取出4个点，个，即有个交点。 问题：若“圆内”改成“圆外”，其他不变，则交点个数是多少？（答案：）或 二、相邻不相邻问题：不重不漏 例2. 8人排成一队，A、B、C三人互不相邻，D、E两人也互不相邻的排法共有多少种？ 错解：第一步：把除A、B、C、D、E的剩余F、G、H3人全排列，有种方法；第二步：前3人排好后，留下4个空档，把A、B、C三人插入，有种方法；第三步：前6人排好后，留下7个空档，把D、E两人插入空档，有种方法。由乘法原理，有种方法。 则题意，“ADB”排法也满足题意，但按照以上排法，A、B之间早就有F或G或H了，而不可能出现“ADB”，违反“不重不漏”中的“不漏”原则。 正解：用排除法。除A、B、C外的5人先全排列，有种方法，这时在留下的6个空档中插入A、B、C三人，有种插空方法，共有种方法；其中应排除D、E两人相邻的情形，把D、E（运用“捆绑法”看作一个个体），F、G、H（F、G、H为余下的三人）全排列，有种方法，这时在留下的5个空档中插入A、B、C三人，有种方法，DE也可交换成ED，共有种方法。所求排法有＝14400－2880＝11520种。 例3. 有20个零件，其中16个是一等品，4个二等品。若从20个零件中任取3个，那么至少有1个是一等品的概率是_____________。 A. B. C. D. 以上都错 错解：选项A中表示只取1个一等品，而题目要求取一等品1个、或2个、或3个，有三种情形；C中表示只取2个一等品，表示只取3个一等品，即只取2个或3个一等品，与题目不符。 B中表示从16个一等品中先取1个一等品，表示再从剩下的19个零件中取2个，这时似乎能保证所取的3个零件中至少有1个是一等品。若设1、2、…、16表示16个一等品，A、B、C、D表示4个二等品，可能出现1、2、A形式（先取一等品1，再从剩下的19个零件中取2、A），也可能出现2、1、A形式（先取一等品2，再从剩下的19个零件中取1、A），违反“不重不漏”中的“不重”原则。 正解：在选项A的基础上增加先从16个一等品中取2个，再从4个二等品取1个，和从16个一等品中取3个，有种取法，答案应为，选D。也可以运用排除法，“至少有1个是一等品”的反面是“没有一个一等品”，即3个都是二等品，有，答案为，选D。 三、抽取问题：放回与不放回 例4. 从一批含有13只正品、2只次品的产品中，不放回地抽取3次，设抽得的次品数为，求E（5＋1）。 错解一：随机变量服从二项分布B（n，p），这里独立重复试验的次数n＝3，在一次试验中事件（次品）发生的概率，得 。 分析：若变量是离散型随机变量，才服从二项分布，才会有公式E（）＝np，那么怎么样的变量才是离散型的呢？对于随机变量可能取的值，可以按一定次序一一列出，像这样的随机变量叫做离散型随机变量。若在一次随机试验中，某事件可能发生也可能不发生，在n次独立重复试验中这个事件发生的次数则是一个随机变量。如果在一次试验中某事件发生的概率是p，那么在n次独立重复试验中某事件发生的概率是p，那么在n次独立重复试验中这个事件恰好发生k次的概率p(＝k)，其中k＝0；1，…，n，，称这样的随机变量服从二项分布，记作~B（n，p）。上面式子，形式上为二项式定理中的第项，所以称服从二项分布。 由上可以看出，二项分布的必要条件是随机变量必须是独立的，而本题中变量与前后有关系，是不独立的，所以题中的变量不服从二项分布，不能用E（）＝np来算。 错解二：因为不放回地取，先组合再排列，所以，， ， 得， 分析：对于＝1这种情形，表示从13只正品中取一只正品后（不放回），再接着从剩下的12只正品中取一只正品（不放回）。表示从2只次品取1只次品。这时，对这3只产品作全排列，得。其实，13只正品被抽取的机会是均等的，取得的2只正品前后没有关系，应视作一种情形，只要看1只次品所取的位置，所以，同理 ， 问题：