2012-2013学年度第一学期期末考试试卷高三数学文科.docVIP

2012-2013学年度第一学期期末考试试卷 高三数学 文科 选择题（每小题5分，共60分） 1．复数的虚部为（ ） 2．已知集合则A∩ UB 等于（ ） 3．已知是等差数列的前项和，且,则的值为（ ） 4．由代数式的乘法法则类比推导向量的数量积的运算法则： ①“”类比得到“”； ②“”类比得到“”； ③“”类比得到“”； ④“”类比得到“”； ⑤“”类比得到“”； 以上的式子中，类比得到的结论正确的个数是（ ） 5．函数的图像与函数的图像关于直线对称，则的值为（ ） 6．某几何体的三视图如图所示，其中俯视图是半个圆，则该几何体的表面积为（ ） 7．下列有关命题的说法不正确的是（ ） 命题“若，则”的逆否命题是假命题； 若“”和“”均为真命题，则是真命题； “”是“”的必要而不充分条件 命题“，使得”的否定是“，均有” 8．已知O是坐标原点，点，若点为平面区域上的一个动点，则的取值范围是（ ） 9．某单位有六个科室，现从人才市场招聘4名新毕业的大学生，要安排到其中的两个科室且每个科室2名，则不同的安排方案种数为（ ） 10．已知函数的图像的一条对称轴是，则函数的最大值是（ ） 11．有一动圆P恒过定点且与轴相交于点,若为正三角形，则点的轨迹为（ ） 椭圆 双曲线 抛物线 圆 12．函数的图像大致是（ ） 填空题（每小题5分，共20分） 13．已知数列满足，则 座机电话号码 14．已知抛物线的焦点与椭圆的一个焦点重合，它们在第一象限内的交点为，且与轴垂直，则椭圆的离心率为 15．执行如图所示的程序框图，输出的 30 16．设是半径为2的球面上的四个不同的点，且满足用分别表示的面积，则的最大值 （1）求角的度数；（2）若，求的值。 解：（1）方法一：利用正弦定理将边化成角 由正弦定理得：代入得 在中有 所以 展开化简得 所以 方法二：利用余弦定理的推论将角化成边 由余弦定理的推论 代入化简得 由余弦定理的推论 所以 （2）由（1）可知 因为 所以 即 又因为联立方程组解得： 18．（本小题满分12分）投掷一个质地均匀，每个面上标有一个数字的正方体玩具，它的六个面中，有两个面的数字是0，有两个面的数字是2，有两个面的数字是4，将此玩具连续抛掷两次，以两次朝上一面出现的数字分别作为点P的横坐标和纵坐标. （1）求点P落在区域C：上的概率；（2）若以落在区域C上所有可能的点作为顶点作面积最大的多边形区域M，在区域C上随机撒一粒豆子，求豆子落在区域M上的概率。 解：由题意可知点P有如下9种情况： （1）其中有四个个点：落在区域C：之内，所以点P落在区域C：上的概率为 （2）以落在区域C上所有可能的点作为顶点作面积最大的多边形区域M如图，在区域C上随机撒一粒豆子，求豆子落在区域M上的概率为 19．（本小题满分12分）已知在四棱锥中，底面是矩形，且平面，是线段的中点。（1）证明：；（2）若与平面所成的角为，求二面角的余弦值。 解：（1）连接，由题意可知在中， ,所以所以 即 因为平面，所以 所以 而 所以 （2）作的中点，过点作的垂线，垂足为点，连接 因为平面， 所以 而在矩形中分别为，的中点，所以有 所以平面 而 所以 又因为所以平面 所以 所以二面角的平面角为 由题意可得 由可求得，在中， 所以 所以 即二面角的余弦值为 20．（本小题满分12分）已知椭圆的离心率，连接椭圆的四个顶点所得菱形的面积为（1）求椭圆的方程；（2）设是椭圆的右焦点，是椭圆上一动点，且与轴不垂直，经过的直线与椭圆的另一个交点为，关于轴的对称点为，试证直线经过轴上一个定点，并求出这个定点的坐标。 解：（1）由题意得 解得： 所以椭圆的方程为 （2）设点则，设直线的直线方程为 联立直线和椭圆方程有： 化简得： 解得： 直线的直线方程为 即： 将代入上式并令 化简得 直线与轴的焦点的横坐标为 所以直线经过轴上一个定点，这个定点的坐标为 。 21．（本小题满分12分）已知是函数的一个极值点（1）求；（2）求函数的单调区间；（3）若直线与函数的图像有3个交点，求的取值范围。 解：（1）由得 因为是的一个极值点 所以又 解得 （2）由（1）可知 令 解得 又因为的定义域为 所以 令 解得 所以的单调递增区间为，单调递减区间为 （3）由（1）（2）可知 的变化趋势如下表： 0 0 ↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗ 所以的大致图像如右图所示 要使直线与函数的图像有3个交点 则有 而 所以 即所求的的取值范围为 请考生在第22、23、24题中任选一道题作答，如果多做，则按所做的第一道题几分。作答是请写清题号。 22．（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲