函数性质的应用探索.pptVIP

1．奇函数f(x)的图象关于原点对称，当f(x)的定义域为R时，必有f(0)＝0. 2．如果一个函数的图象关于y轴对称，那么这个函数是偶函数． 3．若奇函数f(x)在[a，b]上是增函数，且有最大值M，则f(x)在[－b，－a]上是增函数，且有最小值－M. 4．若偶函数f(x)在(－∞，0)上是减函数，则f(x)在(0，＋∞)上是增函数． 想一想：如果f(x)是R上的奇函数，且在[3,6]上有最大值4，最小值2，那么函数f(x)在[－6，－3]上的最大值和最小值各是多少？ 例2、研究函数 的性质并作出它的图像 　 利用函数的奇偶性求解析式 【例4】　已知f(x)是定义在R上的奇函数，且当x0时，f(x)＝x3＋x＋1，求f(x)的解析式． 思路分析：本题已知x0时f(x)的解析式，只需再求出x＝0及x0的表达式即可．已知f(x)是奇函数，则f(－x)＝－f(x)，利用这一条件将x0的解析式进行转化，可求得x0的解析式． 此类问题的一般解法是： (1)“求谁则设谁”，即在哪个区间求解析式，x就设在哪个区间内． (2)要利用已知区间的解析式进行代入． (3)利用f(x)的奇偶性写出－f(x)或f(－x)，从而解出f(x)． 1.　已知f(x)是偶函数，且当x0时，f(x)＝x3＋2x－3，求f(x)在x0时的解析式． 解：∵f(x)是偶函数，∴f(－x)＝f(x)， ∵x0，∴－x0， ∴f(－x)＝(－x)3＋2(－x)－3＝－x3－2x－3. ∴f(x)＝－x3－2x－3(x0)． 　用函数的奇偶性判断函数的单调性 【例5】　已知f(x)是奇函数，且在(0，＋∞)上是减函数．求证：f(x)在(－∞，0)上是减函数． 思路分析：本题即证明f(x1)f(x2)，其中x1x20，利用f(x)是奇函数及在(0，＋∞)上是减函数来证明． 证明：设x1x20，则－x1－x20. ∵f(x)在(0，＋∞)上是减函数， ∴f(－x1)f(－x2)． 又∵f(x)是奇函数，∴－f(x1)－f(x2)，即f(x1)f(x2)， ∴f(x)在(－∞，0)上是减函数． 温馨提示：在解决利用函数的奇偶性判断单调性的问题时，借助于函数的奇偶性完成对f(x1)－f(x2)符号的判断是关键． 由奇函数和偶函数的性质，可得单调性与奇偶性的联系：奇函数在关于原点对称的两个区间上的单调性一致，偶函数在关于原点对称的两个区间上的单调性相反． 　 利用函数的奇偶性比较大小 【例6】　已知函数f(x)在区间[－5,5]上是奇函数，在区间[0,5]上是单调函数，且f(3)f(1)，则(　　) A．f(－1)f(－3)　　 B．f(0)f(－1) C．f(－1)f(1) D．f(－3)f(－5) 思路分析：要比较各函数值的大小，需判断函数在区间[－5,5]上的单调性，根据题意，应首先判断函数在区间[0,5]上的单调性． 解析：函数f(x)在区间[0,5]上是单调函数，又31，且f(3)f(1)，故此函数在区间[0,5]上是减函数． 由已知条件及奇函数性质，知函数f(x)在区间[－5,5]上是减函数． 选项A中，－3－1，故f(－3)f(－1)． 选项B中，0－1，故f(0)f(－1)． 同理选项C中f(－1)f(1)，选项D中f(－3)f(－5)． 答案：A 温馨提示：本题求解的切入点是：由f(3)f(1)及已知条件推出函数f(x)在[－5,5]上是减函数，这样可以应用函数的单调性比较大小． 奇函数、偶函数的单调性的对称规律在不同区间内的自变量对应的函数值比较大小中作用很大．对于偶函数，如果两个自变量在关于原点对称的两个不同的单调区间上，即自变量的正负不统一，应利用图象的对称性将自变量化归到同一个单调区间，然后再根据单调性判断． 3　已知函数f(x)在区间[－5,5]上是偶函数，f(x)在区间[0,5]上是单调函数，且f(－3)f(－1)，则下列不等式一定成立的是(　　) A．f(－1)f(3)　　 B．f(2)f(3) C．f(－3)f(5) D．f(0)f(1) 解析：函数f(x)在区间[－5,5]上是偶函数，因此f(x)＝f(－x)，于是f(－3)＝f(3)，f(－1)＝f(1)，又f(－3)f(－1)，所以f(3)f(1)．因为f(x)在区间[0,5]上是单调函数，从而函数f(x)在[0,5]上是减函数． 观察四个选项，并注意到f(x)＝f(－x)，易得只有D正确． 答案：D 思路分析：由f(x)的奇偶性及函数在(0，＋∞)上的单调性，不难得出f(x)在(－∞，0)上的单调性．再将不等式两边