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数学竞赛中的无理函数最值问题 无理函数是一类特殊的函数，其最值 或值域 的求法大多涉及到化归思想，能较好的考查学生分析问题解决问题的能力，因此受到数学竞赛命题人的青睐，时常出现在数学竞赛中，本文结合近几年全国数学联赛中的一些试题，总结这类问题的解法，并给出相应练习供参考： 一、利用函数单调性求无理函数的最值 若无理函数函数的单调性比较容易确定，常借助其单调性求最值。 例1（2010全国高中数学联赛）.函数的值域是 . 解析：该题是一道基础题，易知的定义域是，且在上是增函数，x 5时取到最小值-3，x 8时取到最大值，所以的值域为. 练习1：函数的最小值是 .（） 二、利用代数换元求无理函数的最值 例2.（2011全国高中数学联赛山西预赛）函数的最大值是 ． 解析：令，则 ，则，当，即取得等号， 所以的最大值是. 例3.（2011全国高中数学联赛四川初赛）已知，若函数的最大值为，求的最小值． 解析：令，则， ∴， ∴当时，有最大值，即． ∴， 等号当且仅当时成立， ∴当时，有最小值10． 评析：对于形如“”的无理函数，一般可通过令，将原函数转化为关于t的二次函数，通过配方求最值，本法同样适用于形如“”的函数。 练习2： 函数的最小值是 ． 1 . 三、利用三角换元求无理函数的最值 例4（2011全国高中数学联赛四川初赛） 函数的最大值为（ ） B、3 C、 D、 解析：本题显然由例1改编，一个运算符号的差别，导致解法的不同，因为,所以可设x-5 ，8-x 0≤ ， 则 + ≤,所以选C. 评析：对一些无理函数进行适当的三角换元，可去掉根式，转化为三角函数求最值，一般来说，若函数式中含有、、可分别令、、，从而脱去根式,再借助三角函数有界性求最值. 例5．（2011全国高中数学联赛）.函数的值域为 ． 解析：设， 则 ， 由得， 所以， 所以的值域为. 练习3: 2011全国高中数学联赛内蒙古初赛 的最大值为 ． 15 四、利用柯西不等式求无理函数最值 我们以上面的例4为例，来分析柯西不等式的应用：因为，由柯西不等式得 评注：利用柯西不等式：能够快速求得这类无理函数的最大值 五、利用距离模型求无理函数最值 例6. 2008全国高中数学联赛江西预赛 设， 则函数的最小值为 . 解析：如图，取为数轴原点，，再作垂线，使,在数轴上取点，使 ，则，当共线时， 值最小，此时 例7.求函数的最小值. 解：， 故几何意义为：在直角坐标系下，函数值为轴上的点与的 距离之和，如图所示，从而可知，即三点共线时，函数最小值为. 练习4:函数的最大值是_______。 利用斜率模型求无理函数最值 例8.求函数的最小值。 解:令,则且，于是问题转化为: 当点在上半个单位圆上运动时,求与的连线的斜率的最值 如图 .显然,当点与点重合时,直线的斜率最小,此时.当直线与上半个单位圆相切时,直线的斜率最大. 设,则直线的方程为 直线与上半个单位圆相切 解得 舍去 或 综上可得,直线的斜率的最值为: ， ， 练习5：函数的最大值是_______。