DA2005年高考数学（天津卷）（文史类）.docVIP

2005年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷） 数学（文史类）参考解答 说明： 一．本解答指出了每题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则． 二．对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分． 三．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数． 四．只给整数分数．选择题和填空题不给中间分． 一．选择题：本题考查基本知识和基本运算．每小题5分，满分50分． 1～5　 C　A　B　A　D 6～10 　C　B　A　D　B 二．填空题：本题考查基本知识和基本运算．每小题4分，满分24分． 11．210 12． 13． 14．35 15． 16． 三．解答题 17．本小题考查两角和差的三角公式、倍角公式等基础知识，考查基本运算能力．满分12分． 解法一：由题设条件，应用两角差的正弦公式得 ， 即． ① 由题设条件，应用二倍角余弦公式得 ， 故． ② 由①式和②式得，． 因此，．由两角和的正切公式 解法二：由题设条件，应用二倍角余弦公式得， 解得，即． 由可得 ． 由于，且，故在第二象限．于是 ， 从而． 以下同解法一． 18．主要考查数列的概念、等差数列、等比数列以及求数列前n项和的方法等基础知识，考查运算能力，满分12分 （Ⅰ）解：由题设，当时， ． 由题设条件可得，因此，即． 解得或． （Ⅱ）解：由（Ⅰ），需要分两种情况讨论． 当时，数列是一个常数列，即 这时，数列的前项和 当时，数列是一个公比为的等比数列，即 这时，数列的前项和 ． ① ①式两边同乘，得 ．　　② ①式减去②式，得 ． 所以． 19．本小题主要考查棱柱、球、二面角、线面关系等基础知识，考查空间想象能力和推理论证能力．满分12分． （Ⅰ）解：过作平面，垂足为．连结，并延长交于，连结，于是为与底面所成的角． ，为的平分线， 又，，且为的中点． 因此，由三垂线定理，． ，且， ．于是为二面角的平面角，即． 由于四边形为平行四边形，得 ． 所以，与底面所成的角为． （Ⅱ）证明：设与的交点为，则点为的中点．连结． 在平行四边形中，因为的中点，故． 而平面，平面，所以平面． （Ⅲ）解：连结．在和中，由于，，，则，故．由已知得． 又平面，为的外心． 设所求球的球心为，则，且球心与中点的连线． 在中，． 故所求球的半径．球的体积． 20．本小题考查根据实际问题建立函数关系并应用解析几何和代数的方法解决实际问题的能力．满分12分． 解：如图所示，建立平面直角坐标系，则，，． 直线的方程为，即． 设此人距山崖的水平距离为，则．由经过两点的直线的斜率公式，． 由直线到直线的角的公式得 ． 要使达到最大，只须达到最小．由均值不等式 ， 当且仅当时上式取得等号．故当时最大． 由此实际问题知，，所以最大时，最大．故当此人距山崖水平距离为米时，观看铁塔的视角最大． 21．本小题主要考查集合的运算．绝对值不等式、应用导数研究函数的单调性及极值等基础知识，考查综合分析和解决问题的能力．满分14分． 解：（1）由题设和是方程的两个实根，得且， 所以，． 当时，的最大值为，即． 由题意，不等式对任意实数恒成立的的解集等于不等式 的解集．由此不等式得，　　　　　　① 或． ② 不等式①的解为． 不等式②的解为或． 因此，当或或时，是正确的． （2）对函数求导． 令，即．此一元二次方程的判别式 ． 若，则有两个相等的实根，且的符号如下： 因此，不是函数的极值 若，则有两个不相等的实根和（），且的符号如下： 因此，函数在处取得极大值，在处取得极小值． 综上所述，当且仅当时，函数在上有极值． 由得或， 因此，当或时，是正确的． 综上，使正确且正确时，实数的取值范围为． 22．本小题主要考查抛物线的几何性质、直线方程、平面向量、直线与曲线相交、两条直线的夹角等解析几何的基础知识、基本思想方法和综合解题能力．满分14分． （Ⅰ）解：由抛物线的方程得，焦点坐标为，准线方程为 ． （Ⅱ）证明：设直线的方程为，直线的方程为 ． 点和点的坐标是方程组 的解．将②式代入①式得，于是，故 ． ③ 又点和点的坐标是方程组 的解．将⑤式代入④式得，于是，故 ． 由已知得，，则． ⑥ 设点的坐标为，由，则． 将③式和⑥式代入上式得， 即．所以，线段的中点在轴上． （Ⅲ）解：因为点在抛物线上，所以