DA2005年高考数学（全国卷Ⅲ）（文史类）.docVIP

2005年普通高等学校招生全国统一考试（全国卷Ⅲ） 数学（文）参考答案 一、选择题 1~5　　D　B　B　C　A 6~10　　C　C　B　C　D 11~12　　D　A 二、填空题 13．　　　14．　　　15．　　　16． 三、解答题： 17．本小题考查三角函数基本知识和基本运算．满分16分． 解： f（x） 2sin2x+sin2x 2sin2x+2sinxcosx 2sinx（sinx+cosx）． f（x）为正值当且仅当sinx与sinx+cosx同号． 在上， 若sinx与sinx+cosx均为正值，则； 若sinx与sinx+cosx均为负值，则． 所以所求x的集合为． 18．本小题考查相互独立事件同时发生或对立事件有一个发生的概率的计算方法，考查运用概率知识解决实际问题的能力．满分12分． 解：记“机器甲需要照顾”为事件A，“机器乙需要照顾”为事件B，“机器丙需要照顾”为事件Ｃ．由题意，各台机器是否需要照顾相互之间没有影响，因此，A，B，C是相互独立事件． （Ⅰ）由已知得 解得：；； 所以，甲、乙、丙每台机器需要照顾的概率分别是，，． （Ⅱ）记A的对立事件为，B的对立事件为，C的对立事件为， 则，，， 于是． 所以这个小时内至少有一台机器需要照顾的概率为． 19．本小题主要考查四棱锥的概念、直线和平面、平面和平面的关系等基础知识，以及空间想象能力和逻辑推理能力．满分12分． 方法一： （Ⅰ）证明： （Ⅱ）解：取的中点E，连结AE，BE． △VAD是正三角形， AE⊥VD，． 平面， ． 又由三垂线定理知． 因此，∠AEB是所求二面角的平面角． 于是， 即得所求二面角的大小为arctan． 方法二：以D为坐标原点，建立如图所示的坐标系． （Ⅰ）证明:不妨设， 则，， ，， 由，得 又AB⊥AD，因而AB与平面VAD内两条相交直线VA，AD都垂直． 平面． （Ⅱ）解：设E为DV中点，则， ，，． 由，得．又， 因此，∠AEB是所求二面角的平面角． ． 解得所求二面角的大小为arccos． 20．本小题主要考查等差数列、等比数列的基础知识，以及推理能力与运算能力．满分12分． 解：依题设得：， ，整理得， ，， 得． 所以，由已知得 d，3d，k1d，k2d，…，knd，… 是等比数列． 由，所以数列 1，3，k1，k2，…，kn，… 也是等比数列，首项为1，公比为，由此得． 等比数列的首项，公比，所以．即得到数列的通项为． 21．本小题主要考查建立函数关系式，函数的倒数及其应用等基础知识，以及分析和解决实际问题的能力．满分12分． 解：设容器的高为，容器的体积为，则 ． 求的导数，得 ． 令得，（舍去）． 当时，，那么为增函数； 当时，，那么为减函数． 因此，在定义域内，函数只有当时取得最大值，其最大值为 ， 答:当容器的高为时，容器的容积最大，最大容积为． 22．本小题主要考查直线和抛物线等基础知识，考查逻辑推理能力和综合分析、解决问题的能力．满分14分． 解：（Ⅰ）两点到抛物线的准线的距离相等， 抛物线的准线是x轴的平行线，，依题意，不同时为， 上述条件等份于； ， 上述条件等份于． 即当且仅当时，l经过抛物线的焦点F． （Ⅱ），． 过点的直线的斜率为 与垂直， 的斜率为． 又线段AB的中点坐标为，即． 的直线方程为． 即所求的方程为．