概率论与数理统计第7章7-1点估计资料.ppt

求导并令其为0 0 从中解得 即为 的MLE . 对数似然函数为 似然函数为： X 的概率密度为： 这一讲，我们介绍了参数点估计, 给出了寻求估计量最常用的矩法和极大似然法 . 参数点估计是用一个确定的值去估计未知的参数 . 看来似乎精确 ，实际上把握不大 . 四、小结 注意参看PDF 第七章 参数估计 数理统计的基本问题之一： 根据样本所提供的信息，对总体的分布以及分布 的数字特征做出统计推断． 统计推断 假设检验 参数估计 点估计 区间估计 （矩估计法、最大似然估计法） 第一节 点估计 教学内容 1 矩估计法 2 最大似然估计法 教学重点 矩估计法与最大似然估计法的应用 样本 统计量 描述 作出推断 研究统计量的性质和评价一个统计推断的优良性，完全取决于其抽样分布的性质. 随机抽样 总体 一、提出问题 参数估计是统计推断的基本问题之一,参数估计问题是利用从总体抽样得到的信息来估计总体的某些参数或者参数的某些函数. 在许多实际问题中, 根据实践经验已经知道数据来自于某类分布总体, 但总体中有些参数是未知的. 问题: 1 在一定时间内某信息台接到的呼叫次数X是一个随机变量, 由实践经验知道它服从泊松分布, 而其中参数是多少呢？ 2 调查男学生的身高，根据以往经验，这些数据应该来自正态总体，我们怎样才能得到这个正态总体的两个参数呢？ 这类问题称为参数估计. 参数估计问题的一般提法 X1,X2,…,Xn 要依据该样本对参数 作出估计, 或估计 的某个已知函数 . 现从该总体抽样，得样本 设有一个统计总体 , 总体的分布函数为 F x, ，其中 为未知参数 可以是向量 . 随机抽查100个婴儿 , … 得100个体重数据 10,7,6,6.5,5,5.2, … 呢 ? 据此,我们应如何估计 和 而全部信息就由这100个数组成 . 例1 已知某地区新生婴儿的体重 , 未知 我们知道,若 , 由大数定律, 自然想到把样本体重的平均值作为总体平均体重的一个估计. 样本体重的平均值 则 . 用样本体重的均值 估计 . 类似地，用样本体重的方差 估计 . 1. 矩估计法 矩估计法是英国统计学家K.皮尔逊 最早提出来的 . 由辛钦定理 , 若总体 的数学期望 有限, 则有 其中 为连续函数 . 这表明 , 当样本容量很大时 , 在统计上 , 可以用 用样本矩去估计总体矩 . 这一事实导出矩估计法. 定义 用样本原点矩估计相应的总体原点矩 , 又 用样本原点矩的连续函数估计相应的总体原点矩的 连续函数, 这种参数点估计法称为矩估计法 . 理论依据: 大数定律 矩估计法的具体做法如下 设总体的分布函数中含有k个未知参数 , 那么它的前k阶矩 , 一般 都是这 k 个参数的函数,记为： i 1,2, … ,k 从这 k 个方程中解出 j 1,2,…,k j 1,2,…,k 那么用诸 的估计量 Ai 分别代替上式中的诸 , 即可得诸 的矩估计量 ： 矩估计量的观察值称为矩估计值 . 矩估计 Moment Estimation 又称数字特征法估计 即 注意：上述方程的解 它们就是未知参数θ1，θ2，…，θ的矩估计． 做法：用“总体矩等于样本矩”列出矩方程（组）， 解之即得矩估计． 解: 由矩法, 样本矩 总体矩 从中解得 的矩估计. 即为 数学期望 是一阶 原点矩 例3 设总体X的概率密度为 是未知参数, 其中 X1,X2,…,Xn是取自X的样本,求参数 的矩估计. 解:由密度函数知 例4 设X1, X2,…, Xn是取自总体X的一个样本 其中 0,求 的矩估计. 具有均值为 的指数分布 故 E X- D X- 即 E X D X 解得 令 用样本矩估计 总体矩 即 E X E X2 2. 最大似然法 它是在总体类型已知条件下使用的一种参数估计方法 . 它首先是由德国数学家高斯在 1821年提出的 . Gauss Fisher 然而,这个方法常归功于英国统计学家费歇 . 费歇在1922年重新发现了这一方法，并首先研究了这种方法的一些性质 . 最大似然法的基本思想 先看一个简单例子： 一只野兔从前方窜过 . 是谁打中的呢？ 某位同学与一位猎人一起外出打猎 . 如果要你推测， 你会如何想呢? 只听一声枪响，野兔应声倒下 . 你就会想，只发一枪便打中, 猎人命中的概率一般大于这位同学命中的概率 . 看来这一枪是猎人射中的 . 这个例子所作的推断已经体现了极大似然法的基本思想 . 二、、最大似然估计法 试求参数 p 的最大似然估计量。 故似然函数为