泊松分布1详解.pptVIP

北京邮电大学电子工程学院 第8章 泊松过程 的分布所确定. 1、 泊松过程举例 （Poisson process ） 定义1 称随机过程 N t ,t?0 为计数过程,若N t 表示到 时刻t为止已发生的“事件A”的总数,且N t 满足下列条件: 1 N t ?0 2 N t 取正整数; 3 若s t,则N s N t ; 4 当s t,N t -N s 等于区间 s,t]中发生的“事件A”的次数. 例2: 事故的发生次数及保险公司接到的索赔数 若以N t 表示某公路交叉口、矿山、工厂等场所在 0,t]时间内发生不幸事故的数目，则泊松过程就是 N t ,t≥0 的一种很好近似，因而保险公司受到的赔偿请求的次数 设一次事故就导致一次索赔 。过程的模型。我们考虑一种最简单情况，设保险公司每次赔付都是1，接到的索赔要求是平均4次/月，则一年中它要付出的金额平均为多少？ 解:设一年开始为0时刻,一月末为1,2月末为2, …,则年末为12. 均值 3 非齐次泊松过程 4 复合泊松过程 设 N t ,t?0 是参数为?的泊松过程， Yn，n 1,2,… 是相互独立同分布的随机变量序列，且N t 与Yn相 互独立，令 定理3 设 N t ,t?0 是参数为?的泊松过程， 设 N t ,t?0 是 参数为?的泊松过程， Wn,n 1,2,… 为等待时间序列，则 Wn～? n,? ，即概率密度为： 下面用Wn表示第n个顾客的到达时间，则 Wn X1 + X2 + … + Xn , n ≥1 称 Wn 为直到第 n 个顾客出现的等待时间。 证明: 因事件 Wn?t 等价于事件 N t ?n ,在[0,t 内事件至少 出现n次,所以Wn的分布函数为 于是Wn的概率密度 当t 0时, f t 0,故 上式又称为爱尔兰分布,它是n个相互独立且服从指数分布 的随机变量之和的概率密度. 例3：一理发师在t 0时开门营业,设顾客按强度为λ 的泊松过程到达.若每个顾客理发需要a分钟,a是正 常数 . 求第二个顾客到达后不需等待就马上理发的 概率及到达后等待时间S的平均值 . 解：设第一个顾客的到达时间为W1，第二个顾客的 到达时间为W2。令X2 W2 - W1，则第二个顾客到达 后不需等待等价于 X2 a。由定理2知X2服从参数为 λ 的指数分布，故 等待时间 4 到达时间的条件分布 假设在时间[0,t]内事件A已经发生一次，我们需要确定这一事件到达时间W1的分布。由于泊松过程是一个平稳独立增量过程，因此我们认为W1落在[0,t]区域的小时间段是服从均匀分布的。事实上,对s t有P W1?s|N t 1 即分布函数为 分布密度函数为 一名服务员,且每人接受服务的时间是独立的并服从均值为20 分钟的指数分布,则到中午12:00为止平均有多少人已经离开, 例4: 设从早上8:00开始有无穷多的人排队等候服务,设只有 解: 由所设条件可知,离去的人数N t 是强度λ 3的泊松过程 这里以小时为单位 。设8:00为零时刻，则 其均值为 即到12：00为止，离去的人平均是12名。 已有9个人接受服务的概率是多少? 而有9个人接受过服务的概率是 定义4 如果计数过程 N t ,t?0 满足下列条件： 1.N 0 ＝0； 2. N t ,t?0 是独立增量过程； 3.P N t+?t -N t 1 ＝? t ?t+0 ?t ； 4.P N t+?t -N t ?2 ＝0 ?t 则称 N t ,t?0 为参数 或平均率、强度 为? t 的非齐次泊松过程。特别，当? t ?时，即为齐次泊松过程。 注1：定义中增量仅具有相互独立性，不具有增量平稳性质，所以称为非平稳，或非齐次。 此处的强度 与时间t有关，意味着这个计数过程一定与时间起点有关系，或者说在等长的时间间隔里，由于时间的起点不同，计数过程的概率特性也有所不同，因此这种计数过程不再具有增量平稳性。 注2：在定义中令 ，且增加计数过程的增量平稳性，则可以退化为标准泊松过程[平稳泊松过程]。 定理5若过程 N t ,t?0 是非齐次泊松过程，则在时间间距[t0,t0+t 内事件A出现k次的概率为： 式中 m t 称为非平稳泊松过程的强度，N t 表示[0, t]内到达的数量，则m t 表示[0, t]内平均到达数量。取t 0 得到： 例某镇有一小商店，每日8:00开始营业。从8:00到11:00平均顾客到达率线性增加，在8:00顾客平均到达5人/小时；11:00到达率达最高峰20人/小时。从11:00到13:00平均顾客到达率为20人/小时。从13:00到17:00平均顾客到达率线性下降，17:00顾客到达率为12人/小时。假设在不相交的时间间隔内到达商