第三章阶跃与渐变折射率光纤的波动理论—1概述.pptVIP

分量 分量 分量 分量 （3.93） （3.94） （3.95） （3.96） 为确定上述A、B、C、D四个待定系数值，需求方程组系数A、B、C、D的非零解。而为求A、B、C、D的非零解，则要求上述方程组的系数矩阵的行列式为0。设系数矩阵为M，则要求 （3.97） 具体表为下式: （3.98） 将上式展开并经变换整理即得到 （3.99） 上述由系数矩阵行列式等于零所得到的“条件方程”，即为阶跃光纤波导的“本征方程”或称“特征方程”。此方程即决定了波导中的模，以及与每个模相联系的 、 和 的容许值。由本征方程可以获得精确解。由于 为整数，因而在由本征方程求解本征值 时，所得到的是在 允许范围内的一系列离散值。对于一般情况下非0的 值( )，即光纤中存在混合模的情况，求解上述方程很复杂，需要利用计算机的数值解法。 特殊情况下，当 。即光纤中只存在横模的条件下，(3. 99)式变为 上式即为横模的本征方程。 综上分析，“本征值”(eigenvalue)或称“特征值”( , , )乃是在给定边界条件下使该方程有解的某参数的一系列可能值。在波动方程的解中，每个本征值均产生为波导所容许的一个特定传导模。所容许的本征值由物理因索(如波导尺寸、折射率等)决定。由本征方程得到的每一个解，即任何一个基本波函数，均由相应的 , , 值即“特征值”确定，这些特征值 是由边界条件所导出的特征方程决定的。每个特征值对应一个特定的波函数，称为“特征函数”，每个特征函数相应于光纤波导中存在的一种电磁场分布，这种分布即称为“模式”或“模”，亦即波导中存在的一个特定的传导模。 有了上述概念，即为尔后对有关模式的进一步分析奠定了基础。 * 3.1.2 阶跃光纤中波动方程的求解 利用上节导出的圆柱坐标系标量波动方程，可以求解阶跃光纤中芯（ ）与包层中( )的场分量，并根据给定的物理模型边界条件导出本征方程，这种方法即为矢量解法。求解的具体思路与过程包括:建立以圆柱坐标系中的波动方程所表示的阶跃光纤的数学模型;利用变量分离手段分解波动方程;给定物理模型，确定影响纤芯与包层中场解的物理约束条件;在给出波动方程通解的基础上，考虑物理约束条件，选择芯与包层中圆柱函数形式的适当解;在芯与包层界面处利用边界条件;导出本征方程及其相关模式解。 1.波动方程的通解 (1)阶跃光纤中轴向电磁场分量的数学模型 阶跃光纤中轴向电磁场分量 ， 的数学模型为(3. 53)式、(3. 54)式所示的标量波动方程: 上述两方程具有相同的解的形式，因而只需求其一(如 )即可。 (2)利用变量分离法分解波动方程(3. 53)式的解为 , 是分量 ， 耦合在一起的函数形式。为便于求解，利用变量分离手段，即令 （3.56） 式中， 是只与径向变量 有关的待定函数; 是只与辐角变量 有关的待定函数。 将上式代入(3. 53)式，应有 （3.57） 整理上式，将变量 ， 在等式两端分离。为此，两端同乘以 并除以 ，则得到 （3.58） 等式(3. 58)中左端仅为 的函数，右端仅为 的函数，且两者相等，因而等式两端必同为一个与变量 ， 无关的常数值，可令其为 ， 为实数值。因而，(3. 58)式可以分解为如下两个分立的常微分方程: （3.59） （3.60） 根据微分方程解的类型分析，(3. 59)式的通解应为 与 的线性组合，即是以 为周期的圆谐函数;又因 应是 的周期性单值函数，其周期应为 ，因而应有 。为此，常数 应以整数 取代，才能确保辐角的周期性，即场量是以 为周期的周期量。因而(3. 59)式应表为 （3.61） 对(3. 60)式进行整理，且式中右端 以 取代，可得到如下场的径向分布函数解的微分方程: （3.62） (3. 61)式和(3. 62)式即为利用变量分离方法分解轴向电场分量波动方程而获得的关于场方位分布与径向分布的两个微分方程。 (3)波动方程的通解 ①对(3. 61)式分析表明，由于阶跃光纤是轴对称圆柱形波导，其电磁场分布在 方向必然以 为周期。因而其沿 方向的场分量解，即场的方位分布函数，应为圆谐振函数，即是以 为周期的周期函数。为了尔后表示与运算方便，解的函数形