第三章固体物理概述.pptx

第三章晶格振动和晶体的热学性质掌握一维晶格的振动、长波近似、声子，了解三维晶格振动，掌握晶格振动热容理论。教学目的：本章重点内容一维单原子/双原子链模型及其色散关系晶格振动的量子化-声子晶体的比热非简谐效应晶格振动（3）分析原子的振动问题，都是从简正振动出发的。（1）在一定温度下，晶格中原子都各自在其平衡位置附近作微振动。（2）晶格中原子的振动都是由若干个不同的基本波动按照波的叠加原理组合而成。晶格振动思考方式1.一维原子链的振动运动方程求解格波频率-波矢关系边界条件分析讨论2.一维双原子链的振动3.三维晶格的振动1一维原子链的振动相对位移后，两个原子间相互作用势能：在平衡位置，势能最小为零。振动很微弱时，恢复力常数:简谐近似1.1运动方程1一维原子链的振动模型：一维无限长的单原子链，原子间距(晶格常量)为a，原子质量为m。第n个原子第n-2个原子第n-1个原子第n+1个原子第n+2个原子amm只考虑临近邻原子相互作用，第n个原子所受的总作用力：第n个原子的运动方程:1.1运动方程应用周期性边界条件（玻恩-卡门条件）忽略原子链两端原子与链中原子的不同。使上式为通式，其特解为：代入运动方程：1.2格波频率-波矢关系依据：倒格子原胞第一布里渊区周期函数对称性1.2格波频率-波矢关系色散关系1.3周期性边界条件-玻恩-卡门边界条件q限制在简约布里渊区l为整数l只能取N个不同值，q也只能取N个不同值，N是原胞数。晶格振动波矢数＝晶格原胞数N1.3周期性边界条件-玻恩-卡门边界条件当q-0时，此时，格波的振动可以看作弹性波。长波近似1.4讨论格波的群速：驻波1.4讨论格波截止频率1.4讨论通解：意义：晶格中每一个原子（确定的n）参与了N个独立的简谐振动，任何一原子的实际运动是这N个格波所描述的简谐振动的线性叠加。模型运动方程试探解色散关系波矢q范围晶格振动波矢的数目=晶体的原胞数B--K条件波矢q取值一维原子链振动2.一维双原子链试探解：2.1运动方程A,B有非零解折合质量2.1运动方程声频支格波2.2两支格波的特征声频波依据：相邻原子振动方向相同，波长相当长时，代表原胞质心的振动。光频波依据：相邻原子振动方向相反。当q很小时：光频支格波原胞质心不动，原胞中2原子相对运动。2.2两支格波的特征2.3周期性边界条件第一布里渊区内波矢q的总数就是晶体原胞的数目N。每个q值对应着两个频率，所以q限制在简约布里渊区3.三维复式格子各原子偏离格点的位移:晶体的原胞数目:原子的质量:第l个原胞的位置:原胞中各原子的位置:——一个原胞中有n个原子三个基矢方向上的原胞数第k个原子运动方程——原子在三个方向上的位移分量——一个原胞中有3n个类似的方程方程右边是原子位移的线性齐次函数，其方程的解将方程解代回3n个运动方程—3n个线性齐次方程—系数行列式为零条件，得到3n个长波极限3支—三支频率对应的格波描述原胞的质心的运动—3支声学波—3n-3支长波极限的格波描述一个原胞中各原子间的相对运动—3n－3支光学波晶体中一个原胞中有n个原子组成，有3支声学波和3n-3支光学波结论：采用波恩－卡曼边界条件波矢波矢空间一个点占据的体积—倒格子原胞体积0波矢的取值密度倒格子原胞体积正格子原胞体积晶体体积0—原子振动波函数波矢改变一个倒格矢—原子振动状态一样q的取值限制在一个倒格子原胞中——第一布里渊区以上结论是否正确，只能依据实验结果来判定。3.三维晶格N个原胞每个原胞有n个原子的三维晶体晶格振动的波矢数＝晶体的原胞数N晶格振动的模式数＝晶体的自由度数3nN晶体中格波的支数＝原胞内的自由度数：3n其中3支为声学支（1支纵波、2支横波）3n－3支为光学支（也有纵波、横波之分）金刚石晶格振动沿[110]方向传播的格波频率与波矢关系晶格振动格波简谐近似独立的振动模式由B--K边界条件q分立值声子晶格振动能量量子化一维单原子链的情况由玻恩-卡门周期性边界条件：q可以取N个值。4.简正振动声子简谐近似——只考虑最近邻原子之间的相互作用。研究对象——由N个质量为m的原子组成的晶体。偏离平衡位置的位移矢量:原子的位置:第n个原子的平衡位置:3个方向上的分量:4.简正振动声子N个原子的位移矢量—体系的势能函数在平衡位置按泰勒级数展开平衡位置—不计高阶项系统的势能函数4.简正振动声子系统的哈密顿量:系统的势能函数:系统的动能函数:—含有坐标的交叉项4.简正振动声子根据经典力学，系统的总能量为势能U和动能T之和。则：令引入简正坐标—原子的坐标和简正坐标通过正交变换联系起来.4.简正振动声子un(t)是实数，(1)证明：4.简正振动声子(2)证明：若4.简正振动声子4.简正振动声子4.简正振动声子4.简正振动声子系统的哈密顿量正则方程——3N个独立无关的方程正则动量依据量子理论，频率为谐