第2章_拉普拉斯变换的数学方法_详细汇编.pptx

山东理工大学ShandongUniversityofTechnology13:38:461机械工程学院SchoolofMechanicalEngineeringControlEngineeringFoundation第2章拉普拉斯变换的数学方法工程数学基础2-1复数和复变函数2-2拉氏变换与拉氏反变换的定义2-3典型时间函数的拉氏变换2-4拉氏变换的性质2-5拉氏反变换的数学方法2-6用拉氏变换解常微分方程13:38:462本章学习要求、重点、难点学习要求掌握拉普拉斯变换和反变换的定义。掌握典型时间函数的拉氏变换。掌握拉氏变换的主要性质。掌握拉氏反变换的部分分式法。掌握用拉氏变换解常微分方程的方法。本章重点典型时间函数的拉氏变换拉氏变换的主要性质拉氏反变换的部分分式法。本章难点拉氏变换的性质13:38:4632-1复数和复变函数复数的概念复数的表示法复变函数、极点与零点的概念13:38:4642-1复数和复变函数1.复数(complexnumber)的概念13:38:465两个复数相等的条件：实部和虚部分别相等。s1=σ1+jω1s2=σ2+jω2若s1=s2，则必有σ1=σ2，ω1=ω2。一个复数等于0的条件：其实部和虚部均为零。s1=σ+jω与s2=σ−jω互为共轭复数。一个复数s由实部σ和虚部ω构成，其代数式为 s=σ+jω2-1复数和复变函数2.复数的表示法代数表示法s=σ+jω坐标表示法向量表示法三角表示法复指数表示法13:38:466实轴虚轴图2-1坐标表示法图2-2向量表示法辐角模/绝对值复平面s平面辐角逆时针为正。辐角的主值：[0，2π]2-1复数和复变函数三角表示法由图2-2可知σ=rcosθ，ω=rsinθ因此s=rcosθ+jrsinθ=r(cosθ+jsinθ)【注】e±jθ的模为1，辐角为±θ。复指数表示法欧拉公式：e＋jθ=cosθ＋jsinθe－jθ=cosθ－jsinθ因此s=rejθ13:38:467三角表示法复指数表示法2-1复数和复变函数例2-1复数s=−3+j4的各种表示法。13:38:468坐标表示法向量表示法三角函数表示法复指数函数函数表示法2-1复数和复变函数复数的模和辐角的运算规律两个复数相乘，结果的模等于这两个复数的模的相乘；结果的辐角等于这两个复数辐角相加。两个复数相除，结果的模等于这两个复数的模相除；结果的辐角等于这两个复数的辐角相减（分子减分母）。以上结论可以推广到n个复数相乘或相除的情况。13:38:469例2-22-1复数和复变函数3.复变函数(ComplexFunction)、极点与零点的概念13:38:4610实部：u=f1(σ，ω)虚部：v=f2(σ，ω)模：辐角：同样可以采用坐标表示法、向量表示法、三角函数表示法和复指数表示法。复变函数以复数s=σ+jω为自变量，按某一确定规律构成的函数f(s)称为复变函数（复变量复值函数的简称）。复变函数的函数值一般也为复数(实数是复数的特例），可写成f(s)=u+jv2-1复数和复变函数例2-2有复变函数G(s)=s2+1当s=σ+jω时，求其实部u、虚部v、模及幅角。解：13:38:4611模幅角2-1复数和复变函数例2-2有复变函数G(s)=s2+2s+3当s=σ+jω时，求其实部u、虚部v、模及辐角。解：13:38:4612模辐角2-1复数和复变函数复变函数的零点：使复变函数值等于0的s点。复变函数的极点：使复变函数值等于∞的s点。例如，有下列复变函数：13:38:4613当s＝1，−2时，G(s)＝0，所以1、−2为G(s)的零点。当s＝0，−3，−4+j5，−4−j5时，G(s)＝∞，所以0、−3、−4+j5、−4−j5为G(s)的极点。2-2拉氏变换与拉氏反变换的定义拉氏变换（全称：拉普拉斯变换）拉氏反变换（全称：拉普拉斯反变换）13:38:46142-2拉氏变换与拉氏反变换的定义简介拉普拉斯变换是以法国著名的数学家和天文学家拉普拉斯名字命名的积分变换，最早是用于解决电力工程计算中遇到的一些基本问题，后来逐渐地在电学、力学、控制工程等系统分析中得到了广泛的应用，是研究以输入—输出描述的连续线性时不变系统的强有力工具（在离散系统、非线性系统、时变系统的研究中无能为力）。13:38:47152-2拉氏变换与拉氏反变换的定义拉氏变换(LAPLACETRANSFORMATION)的定义设实变量函数f(t)在t≥0时有定义，且广义积分在s的某一区域内收敛，则由此积分确定的函数称为f(t)的拉普拉斯变换（简称拉氏变换），记为13:38:4716这里s=σ+jω为复变量，称为拉普拉斯算子（其中σ、ω为实变量），所以F(s)一般为一复变函数。f(t)称为“原函数”（本课程中f(t)一般是时间的函数），F(s)称为“像函数”。