正交多项式相关.docVIP

上的正交多项式 由最佳平方逼近的一般理论知，上的最佳平方逼近完全可以转化为正交系的讨论。因为若是f的最佳平方逼近元，则系数向量满足方程组：，而当{φi}为规范正交时，该方程组的解立即可以写为：???????????????????????。 正交多项式的性质 假设ω0(x),ω1(x),…是空间上的幂函数系1,x,x2,…经正交化手续得到的正交多项式系，则它有如下性质 （1）ωn(x)是n次代数多项式； （2）任一不高于n次的多项式都可以表示成; （3）ωn(x)在中与所有次数低于n的多项式正交，也即 以下假设是ωn的首一化多项式，也即，且的最高次项系数为1，则仍然是一正交系，且有如下递推关系。 定理1 ，其中： ， 。 证明 由于是k+1次多项式，因此可由线性表出，即 （1） 其中cj是适当常数，将（1）式两边同乘以并积分，有 上式左端当s=0,1,…,k-2时，的次数小于k，从而积分值为0，同样右端第一个积分也为0。于是，当s=0,1,…,k-2时，上式变为 令s=0，上式变为 从而c0=0。同理，当s依次为1,…,k-2时，可推出cs=0。于是（1）式可简化为 （2） 下面我们来确定ck,ck-1，在（2）式两边乘以并积分，得 （3） 由于，代入（3）式两端得 同理，用乘（2）式两端并积分，可得 将ck,ck-1代入（2）式两端并加以整理即得定理结论。 如果设ωk(x)的首项系数为αk，则对规范正交系ω0(x),ω1(x),…可以得到如下递推关系 （4） 注：（4）式可通过令代入定理1得到。 定理2 n次正交多项式ωn(x)有n个互异零点，并且都包含在(a,b)中。 证明 令n≥1,假定ωn(x)在(a,b)不变号，则 这与正交性相矛盾。于是至少有一个点x1∈(a,b)使ωn(x1)=0，若x1是重根，则ωn(x)/( x - x1)2是一n-2次多项式，由正交性知 但另一方面有 从而推出x1只能是单根。 今假设ωn(x)在(a,b)内只有j个单根x1, x2,…, xj(jn)，则 ωn(x)( x- x1) ( x- x2) …( x- xj)=q(x)( x- x1)2 ( x- x2) 2 …( x- xj) 2 　 ρ(x)并积分，则对于左端来说，由于(x-x1)(x- x2)…(x- xj)的次数小于n，因此积分值等于零；但对右端来说，由于q(x)在(a,b)不变号，所以积分值不为零。由这个矛盾推出j=n。定理证毕。 定理3假设a=x1x2…xn=b是正交多项式ωn(x)的n个根，那么在每个区间( a, x1) ,( x1, x2) …(xn,b)内都有ωn+1(x)的一个零点。 常用的正交多项式 自然，根据ρ(x)的不同选择，我们可以构造许许多多的正交多项式，这只要分别利用施密特正交化过程就可以完成，然而在这些正交多项式类中，真正有用的是如下几个具有代表性的正交多项式系。 其一是勒让德（Legendre）多项式，它是L2[-1,1]上的正交多项式，并且可以表示成如下形式： （5） 由于是2n次多项式，所以Pn(x) 是n 次多项式，其最高次项系数与单项式 的系数相同。可以证明勒让德多项式具有如下性质： （1） （2）Pn(x)=(-1)n Pn(-x). （3） 其二是第一类契比雪夫多项式，由引理3不难发现，它是在区间[-1,1]上关于权函数的正交多项式。 其三是取，则上的正交多项式定义为 它满足如下的递推公式 和正交性条件