中考压轴题中的存在性问题及答案程序.docxVIP

（山东青岛）已知：如图（1），在中，，，，点由出发沿方向向点匀速运动，速度为1cm/s；点由出发沿方向向点匀速运动，速度为2cm/s；连接．若设运动的时间为（），解答下列问题： （1）当为何值时，？ （2）设的面积为（），求与之间的函数关系式； （3）是否存在某一时刻，使线段恰好把的周长和面积同时平分？若存在，求出此时的值；若不存在，说明理由； A Q C P B （4）如图（2），连接，并把沿翻折，得到四边形，那么是否存在某一时刻，使四边形为菱形？若存在，求出此时菱形的边长；若不存在，说明理由． A Q C P B 图（1） 图（2） 【思路点拨】（1）设BP为t，则AQ = 2t，证△APQ ∽△ABC；（2）过点P作PH⊥AC于H． （3）构建方程模型，求t；（4）过点P作PM⊥AC于Ｍ，PN⊥BC于N，若四边形PQP ′ C是菱形，那么构建方程模型后，能找到对应t的值。 （山东青岛）（1）在Rt△ABC中，， 由题意知：AP = 5－t，AQ = 2t， 若PQ∥BC，则△APQ ∽△ABC， ∴，∴，∴． （2）过点P作PH⊥AC于H． ∵△APH ∽△ABC， ∴，∴，∴， ∴． 　 （3）若PQ把△ABC周长平分，则AP+AQ=BP+BC+CQ． ∴， 解得：． 若PQ把△ABC面积平分，则， 即－＋3t=3． ∵ t=1代入上面方程不成立， ∴不存在这一时刻t，使线段PQ把Rt△ACB的周长和面积同时平分． P ′ B A Q P C 图 = 2 \* GB3 ② M N （4）过点P作PM⊥AC于Ｍ，PN⊥BC于N， 若四边形PQP ′ C是菱形，那么PQ＝PC． ∵PM⊥AC于M，∴QM=CM． ∵PN⊥BC于N，易知△PBN∽△ABC． ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，解得：． ∴当时，四边形PQP ′ C 是菱形． 此时，　， 在Rt△PMC中，， ∴菱形PQP ′ C边长为． （山东德州）（1）∵MN∥BC，∴∠AMN=∠B，∠ANM＝∠C． ∴ △AMN ∽ △ABC． ∴ ，即． ∴ AN＝x． ∴ =．（0＜＜4） A B C M N D 图（ 2） O Q （2）如图（2），设直线BC与⊙O相切于点D，连结AO，OD，则AO =OD =MN． 在Rt△ABC中，BC ＝=5． 由（1）知 △AMN ∽ △ABC． ∴ ，即． ∴ ， ∴ ．过M点作MQ⊥BC 于Q，则． 在Rt△BMQ与Rt△BCA中，∠B是公共角， ∴ △BMQ∽△BCA． ∴ ． A B C M N P 图 （1） O ∴ ，． ∴ x＝． ∴ 当x＝时，⊙O与直线BC相切． （3）随点M的运动，当P点落在直线BC上时，连结AP，则O点为AP的中点． A B C M N P 图 （3） O ∵ MN∥BC，∴ ∠AMN=∠B，∠AOM＝∠APC． ∴ △AMO ∽ △ABP． ∴ ． AM＝MB＝2． 故以下分两种情况讨论：  = 1 \* GB3 ① 当0＜≤2时，． ∴ 当＝2时， A B C M N P 图 （ 4） O E F  = 2 \* GB3 ② 当2＜＜4时，设PM，PN分别交BC于E，F． ∵ 四边形AMPN是矩形， ∴ PN∥AM，PN＝AM＝x． 又∵ MN∥BC， ∴ 四边形MBFN是平行四边形． ∴ FN＝BM＝4－x． ∴ ． 又△PEF ∽ △ACB． ∴ ．∴ ． ＝． 当2＜＜4时，． ∴ 当时，满足2＜＜4，． 综上所述，当时，值最大，最大值是2． 【学力训练】 1、（山东威海） 如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝7，CD＝1，AD＝BC＝5．点M，N分别在边AD，BC上运动，并保持MN∥AB，ME⊥AB，NF⊥AB，垂足分别为E，F． C D A B E F N M （1）求梯形ABCD的面积； （2）求四边形MEFN面积的最大值． （3）试判断四边形MEFN能否为正方形，若能， 求出正方形MEFN的面积；若不能，请说明理由． 1、（山东威海）（1）分别过D，C两点作DG⊥AB于点G，CH⊥AB于点H． ∵ AB∥CD， ∴ DG＝CH，DG∥CH． ∴ 四边形DGHC为矩形，GH＝CD＝1． C D A B E F N M G H ∵ DG＝CH，AD＝BC，∠AGD＝∠BHC＝90°， ∴ △AGD≌△BHC（HL）． ∴ AG＝BH＝＝3． ∵ 在Rt△AGD中，AG＝3，AD＝5， ∴ DG＝4．