高数复习提纲剖析.docx

极限 导数与微分 不定积分 定积分 极限 数列的极限 数列极限limn→∞xn=a的概念及ε-N定义。 收敛数列的性质：极限的唯一性、收敛数列的有界性、保号性以及收敛数列的子数列的性质。 [思考]如何证明数列{xn}发散？ 找出数列{xn}的一个发散子列； 找出数列{xn}的两个有不同极限的子列。（例如数列{（-1）n}中，分别令n=2k和n=2k+1得到两个子列，这两个子列的极限不相等。） 函数的极限 函数极限的性质：极限的唯一性、局部有界性、局部保号性以及函数极限与数列极限的关系（海涅定理）。 两个重要的极限 （1）limx→0sinxx =1; (2)limn→∞1+1nn=e; （2）式一般还会变形为x→0lim(1+x)1x=e. [例] 求极限limn→∞n-1n+1n limn→∞n-1n+1n=limn→∞1-2n+1n=limn→∞1-2n+1-n+12?(-2nn+1)=elimn→∞-2nn+1 =e-2 [技巧]求形如limx→a1+fxgx的极限时，把它化为limx→a1+fxfxgxfx=elimx→afxgx的形式，求出limx→afxgx即可。 三．无穷小与无穷大 极限运算法则 无穷小的定义与性质（课本P55~56） 无穷小的运算法则。 关于高阶无穷小的运算，有如下规律：一般的，当x→0时， （1）οxn+οxn=οxn （2）οxm+οxn=οxnmn （3）οxm?οxn=οxm+n （4）ο（kxn）=ο(xn) (k≠0) 记住这些规律对处理麦克劳林公式中的佩亚诺余项有很大帮助。 此外要说的是， 认为x→0时，οxn-οxn=0，这是不对的。例如，x→0时，x2=οx，x3=οx,但x2-x3≠0； 认为x→0，mn时，有οxmο(xn) =οxm-n，这也是不对的。例如，x→0时，x3=ο(x2),x4=ο(x),x3x4却是x→0时的无穷大。 常见的无穷小代换。 x～sinx～tanx～arcsin x x～ex-1～ln(1+x) cosx～12x2 （1+x)n～1+nx tanx-sinx~12x3 这些常用的无穷小替换可以大大缩短求极限的运算量。 [注意]做等价无穷小的代换时，对分子或分母中的某个加项作代换，就可能出错。必须将分子和分母的整体换成它们各自的等价无穷小。例如，在求极限 limx→0tanx-sinxx3 时，如果将tanx，sinx均换成x，那么分子成为0，得出极限为0.而事实上limx→0tanx-sinxx3=limx→0(tanxx?1-cosxx2)=1×12=12 即tanx-sinx～12x3(x→0). 极限的四则运算（P50定理5） 在运算的时候注意先变形。 [例1]limn→∞1-1221-132……（1-1n2) 原式=limn→∞(12×32×23×43×……×n-1n×n+1n) =limn→∞n+12n = 12 此外，还需要注意x趋于+∞和-∞时极限不同的情况。 [例2]求极限 limx→∞4x2+x-1+x+1x2+sinx 原式=limx→∞4+1 x-1x2-1-1x1+sinxx2=2-11=1 需要分类讨论？ 变形方法是分子分母同时除以x，因为注意到x=x2,如果直接除以x，那么当x→-∞时，x=-x2，相应的根式就该变号。但是当x→-∞时，xx=-1,这点必须得注意到。当时期中编答案的时候没注意到这个，在这里向大家道个歉。 四．闭区间上连续函数的性质 1.初等函数的连续性 2.闭区间上连续函数的性质：有界性与最大值最小值定理，零点定理，介值定理。 导数与微分 一．导数的概念与求导法则 1.函数y=f(x)在x0处的导数f(x0)的定义 limΔx→0ΔyΔx =limΔx→0fx0+Δx-f(x0)Δx =limx→x0fx-f(x0)x-x0. 2.函数f(x)在点x0处可导与连续的关系。（连续不一定可导，可导一定连续） [注意]利用定义求导时得注意分子分母中的Δx系数统一 limΔx→0fx0+2Δx-f(x0)Δx=2limΔx→0fx0+2Δx-f(x0)2Δx=2f(x0) 此外还有一些变形得能看的出来 limΔx→0fx0-f(x0-Δx)Δx=f(x0) limh→0fx0+h+fx0-h-2f(x0)h2=f〞(x0) [例]设曲线y=f(x)与y=sinx在原点相切，试求limn→∞nf(2n). 解析：要善于发掘题干中“y=f(x)与y=sinx在原点相切”，“f(0)=0,f(0)=1”这一隐含的条件。当n→∞时，2n→0，limn→∞nf(2n)=limn→∞[nf2n-f(0)2n?2n]=2f(0)=2 所以limn→∞nf(2n).=2. 3.函数的求导法则 这些