高斯求积公式及常微分方程初值问题剖析.ppt

北京科技大学数理学院 卫宏儒 Weihr168@ 高斯求积公式  常微分方程初值问题的数值解法 4、绝对稳定性问题 注：一阶微分方程组与高阶方程的数值解法 （1）一阶微分方程组的解法 前面介绍的单个方程的各种数值解法完全可以推广到一阶微分方程组的情形，只要将一阶微分方程组中的函数换为向量函数，得到方程组初值问题转化的类似于一阶微分方程的初值问题，按照前面的解法可给出欧拉格式或者经典的R-K方法。 （2）高阶方程的数值解法 对于高阶微分方程，可通过引入变量代换，将其化为一阶方程组，再按（1）的方法求解。 例题： 作业10： 前面已经看到,二级、四级R-K方法可分别达到最高阶数二阶、四阶，但是N级R-K方法的最高阶却不一定是N阶。N表示R-K方法的级数表示公式中计算函数值f的次数。Butcher给出了R-K方法计算函数值f的次数与阶数之间的关系表，如下： 计算f的次数 1 2 3 4 5 6 7 方法的最高阶数 1 2 3 4 4 5 6 由表可见，四级以下R-K的方法其最高阶数与计算f的次数一致，对m阶R-K公式，当m 4，虽然计算f的次数增加，但是方法阶数不一定增加。因此四级四阶R-K公式是应用最为广泛的公式。 1 Euler方法的绝对稳定性 将Euler方法应用于实验方程得到： 这是一个齐次线性差分方程，其对应的特征方程为： 由定理2可知，当特征根 满足 时, Euler方法是绝对稳定的。 由上可知： 5、经典R-K法应用中步长的自动选取 因此得到： 为了研究数值方法的绝对稳定性，下面给出常系数线性差分方程的有关概念。 定义5： 方程 例 讨论线性多步法的绝对稳定性条件 得到相应的齐次线性差分方程： 将 应用于实验方程 其对应的特征方程为： 2、数值解法的构造途径 （1）差商代替导数 设初值问题 1.1）的准确解y x 在节点xn之值为y xn ,记y xn 的近似值为yn ，又记fn f（xn ， yn ）,则初值问题 1.1）离散化为: 它称为（向前）欧拉 Euler 公式。（类似地可以用向后差商、中心差商代替导数产生相应的欧拉 Euler 公式） （2）数值积分法 把 y′ f x,y 在[xn,xn+1]积分，得 对右端的定积分用数值积分方法做离散化，可得计算公式，如用矩形公式可得欧拉公式，若用梯形公式可得改进的欧拉公式，它也称为梯形公式： （3）Taylor展开法 设 f x,y 充分光滑,将y xn+1 在x n点作Taylor展开: y x n+1 y xn +hy xn + h2/2! y” xn +O h3 取其关于h 的线性部分，并用yn 代替 y xn ,就得到Euler公式。 易知Euler公式的局部截断误差为 T1 h2/2! y ” xn +O h3 O h2 改进欧拉法的预-校公式 Euler公式的几何意义 a b Y y x x y 0 例题：用Euler公式和改进的Euler公式分别求下列初值问题的数值解 取步长h 0.1计算到y3 ： y′ -2xy2 y 0 1 解：由欧拉公式 y n+1 y n+hf xn,y n y n - 2hxny n2 计算如下 y 1 y 0 - 2hx0y 02 1-2·0.1·0·12 1 y 2 y 1 - 2hx1y 12 1-2·0.1·0.1·12 0.98 y 3 y2 - 2hx2y 22 0.98-2·0.1·0.2·0.982 0.9416 用改进欧拉法的预-校公式计算如下： 计算如下 y 1 0.99; y 2 0.9614; y 3 0.9173 精确解y 0.1 0.99,y 0.2 0.9614;y 0.3 0.9173 可见改进欧拉公式比欧拉公式精度高。 3、Runge-Kutta 方法 Runge-Kutta 方法是一种高精度的单步法，简称R-K法。得到高精度方法的一个直接想法是利用Taylor展开。 假设式 y f x,y a≤x≤b 中的 f x,y 充分光滑，将y xn+1 在x n点作Taylor展开: （1）基本思想 对照标准形式 y n+1 y n+hф xn,y n,h 。若取 ф x,y,h y x + h/2! y x +......+ hp-1/p! y p x 并以y n代替y xn ，则得到一个p阶近似公式 y n+1 y n+hф xn ,y n ,h n 0,1,2,...... * R-K方法不是直接使用Taylor级数,而是利用它的思想,即计算f x,y 在不同结点的函数值,然后作这些函数值的线性