高数洛必达法则剖析.ppt

第七节 若两个函数 一、关于 证: 推论1. 例1 求 例2. 求 例3. 求 例4. 求 二、 关于 1) 例6. 求 例7. 求 说明: 说明: 3) 若 例8 确定常数 例8 确定常数 三、其他未定式及其计算法则 例1. 求 例2. 求 例3 例4. 例5. 求 例6 求 例7 求下列极限 解： 例8 例8 高等数学 例9. 求 例10 内容小结 思考与练习 作业 洛必达(1661 – 1704) 1（13） 1（15） 2. 主讲教师: 王升瑞 第十八讲 分析: 为用洛必达法则 , 必须改求 法1 用洛必达法则 但对本题用此法计算很繁 ! 法2 ～ 原式 解：令 洛必达法则 令 取对数 1. 设 是未定式极限 , 如果 不存在 , 是否 的极限也不存在 ? 举例说明 . 极限 原式 ～ 分析: P135 1 （1）（2）（4) ( 5) (6) (7) (8) (9) (11) (12) (13) （17）（19）(20); 2. 法国数学家, 他著有《无穷小分析》 (1696), 并在该书中提出了求未定式极 限的方法, 后人将其命名为“ 洛必达法 的摆线难题 , 以后又解出了伯努利提出的“ 最速降 线 ” 问题 , 在他去世后的1720 年出版了他的关于圆 锥曲线的书 . 则 ”. 他在15岁时就解决了帕斯卡提出 * 三、其他未定式及其计算法则 二、 型未定式的洛比达法则 一、 型未定式的洛比达法则 洛必达法则 第二章 微分中值定理 函数的性态 导数的性态 函数之商的极限 导数之商的极限 转化 ( 或 型) 本节研究: 洛必达法则 时都趋于零 或趋于 那么， 可能存在，也可能不存在。 通常此种极限称为未定式。 分别简记为 这种极限不能用“商的极限等于极限的商”的法则来 计算。 此外，还有 共七种类型。 如两个重要极限： 未定式 等仅是一个习惯记号， 没有运算意义。 如： 都不对！ 存在 (或为 ) 定理 1. 型未定式的洛比达法则 (洛必达法则) ( ? 在 x , a 之间) 无妨假设 在指出的邻域内任取 则 在以 a, x 为端点的区间上满足 故 定理条件: 柯西定理条件, 存在 (或为 ) 定理 1 中 换为 之一, 推论 2. 若 理1条件, 则 条件 2) 作相应的修改 , 定理 1 仍然成立. 洛必达法则 解: 原式＝ 解: 原式 注意: 不是未定式不能用洛必达法则 ! 解: 原式 思考: 如何求 ( n 为正整数) ? 解: 注意到 ～ 原式 例5. 求 解: 原式 型未定式的洛比达法则 存在 (或为∞) 定理 2. (洛必达法则) 说明: 定理中 换为 之一, 条件 2) 作相应的修改 , 定理仍然成立. 的情形 从而 解: 原式 例7. 求 解: (1) n 为正整数的情形. 原式 (2) n 不为正整数的情形. 从而 由(1) 用夹逼准则 存在正整数 k , 使当 x 1 时, 例6. 例7. 1) 例6 , 例7 表明 时, 后者比前者趋于 更快 . 例如, 而 用洛必达法则 2) 在满足定理条件的某些情况下洛必达法则不能解决 计算问题 . 例如, 1、 极限不存在 使函数 在 处连续可导。 解 于是由连续的充要条件得 使函数 在 处连续可导。 解决方法: 通分 转化 取倒数 转化 取对数 转化 注意 则 解: 原式 注： 原式 解不出！ 解: 原式 通分 转化 取倒数 转化 取对数 转化 解: 原式 ～ 通分 转化 取倒数 转化 取对数 转化 解: 注： 利用等价无穷小 必须在分子 注： 解： 根据数列极限和函数极限的关系，取 当 取正整数 解： 方法1 原式 方法2 原式＝ 原式＝ 解： 原式＝ 注： 未定式只有化为 才能应用洛必塔法则！ 令 则 原式 = 解: (用洛必达法则) (继续用洛必达法则) 求下列极限 : 求下列极限 : 解: * * * * *