复变第四章4.1-4.2剖析.ppt

小结 一、复数列的极限 二、级数的概念 三、典型例题 §2 幂 级 数 1、幂级数： * 3.7 解析函数与调和函数的关系（续） 定理 在区域D内解析 解析函数的虚部必为实部的共轭调和数 已知共轭调和函数中的一个，可利用 C-R 方程求得另一个，从而构成一个解析函数。 例2 证明：函数 都是调和函数但 不是解析函数。 证 由于 所以 故 是全平面上的调和函数， 除原点外在全平面上调和。但 ,不满足C-R条件，所以 不是解析函数。 例3 解 根据调和函数的定义可得 所求解析函数为 调和函数的概念、解析函数与调和函数的关系以及共轭调和函数的概念. 应注意的是: 1. 任意两个调和函数u与v所构成的函数u+iv不一定是解析函数. 2. 满足柯西—黎曼方程ux= vy, vx= –uy,的v称为u 的共轭调和函数, u与v注意的是地位不能颠倒. 一、复数列的极限 二、级数的概念 4.1 复数项级数 三、典型例题 1.定义 记作 2.复数列收敛的条件 定理一说明: 可将复数列的敛散性转化为判别两 个实数列的敛散性. 证明思想与过程跟函数极限的证明完全类似，故省略. 课堂练习: 下列数列是否收敛? 如果收敛, 求出其极限. 收敛到-1 不收敛 收敛到0 1.定义 表达式 称为复数项无穷级数. 其最前面 n 项的和 称为级数的部分和. 部分和 收敛与发散 说明: 与实数项级数相同, 判别复数项级数敛散性的基本方法是: 复习掌握 一、正项级数审敛法： 2.复数项级数收敛的条件 证 因为 定理二 说明 复数项级数的审敛问题 实数项级数的审敛问题 (定理二) 解 所以原级数发散. 课堂练习 必要条件 重要结论: 不满足必要条件, 所以原级数发散. 启示: 判别级数的敛散性时, 可先考察 ? 级数发散; 应进一步判断. 3. 绝对收敛与条件收敛 注意 应用正项级数的审敛法则判定. 定理三 证 由于 而 根据实数项级数的比较准则, 知 由定理二可得 [证毕] 非绝对收敛的收敛级数称为条件收敛级数. 说明 如果 收敛, 那末称级数 为绝对收敛. 定义 所以 综上: 例1 解 级数满足必要条件, 但 例2 故原级数收敛, 且为绝对收敛. 因为 所以由正项级数的比值判别法知: 解 故原级数收敛. 所以原级数非绝对收敛. 例3 解 *