复变函数ch61剖析.ppt

* * * 第一节 留数 第六章 留数理论及其应用 1. 留数的定以及留数定理 2. 留数的求法 3. 函数在无穷远点的留数 1. 留数的定义与留数定理 2. 计算留数的方法 3. 函数在无穷的留数 §6.1 留数与留数定理 1. 留数的定义与留数定理 由留数定义,　 Res [f (z), z0]= c–1 　　　　(1) 定义　设 z0 为 f (z) 的孤立奇点， f (z) 在 z0 邻域内的洛朗级数中负幂次项 (z- z0)–1 的系数 c–1 称为f (z)在 z0 的留数，记作 Res [f (z), z0] 或 。 柯西留数定理 定理6.1 证明 D c zn z1 z3 z2 由复合闭路定理得： 用2?i 除上式两边得: 得证！ 求沿闭曲线c的积分，归之为求在c中各孤立 奇点的留数。 一般求 Res [f (z), z0] 是采用将 f (z) 在 z0 邻域内 展开成洛朗级数求系数 c–1 的方法, 但如果能先知道 奇点的类型，对求留数更为有利。 以下就三类孤立奇点进行讨论： 2. 计算留数的方法 规则I 规则II 事实上，由条件 　当m=1时，式(5)即为式(4). 规则III 事实上， 例4 解 例5 解 例6 解 　(1)要灵活运用规则及洛朗级数展开来求留 数，不要死套规则。 是f (z)的三级极点。 例7 法1 ---该方法较规则II更简单！ 法2 　(2) 由留数定理和高阶微分公式，在使用规则II 时，可将 m 取得比实际级数高，这可使计算更简单。 法3 定义 3.函数在无穷远点的留数 无穷远点留数计算： 法1 法2