复变第二章2.3剖析.ppt

第一节 解析函数条件（续） 典型例题 第二节 初等解析函数 2.1 指数函数 2.2 对数函数 2.3 乘幂与幂函数 2.4 三角函数与双曲函数 2.5 反三角函数与反双曲函数 2.1 指数函数 2.2 对数函数 2.3 幂函数 2.4 三角函数和双曲函数 2.5 反三角函数和反双曲函数 2.正弦与余弦函数的性质： (注意：与实变函数不同) 3.其他复三角函数的定义： 4.正切、余切、正割与余割函数的性质： * 定理2 函数f (z)=u(x, y)+iv(x, y)在D内解析充要 条件是 u(x, y) 和 v(x, y)在D内可微，且 满足Cauchy-Riemann方程 由此可以看出可导函数的实部与虚部有密切的联系.当一个函数可导时,仅由其实部或虚部就可以求出导数来. 利用该定理可以判断那些函数是不可导的. 使用时: i) 判别 u(x, y)，v (x, y) 偏导数的连续性， ii) 验证C-R条件. iii) 求导数： 前面我们常把复变函数看成是两个实函数拼成的, 但是求复变函数的导数时要注意, 并不是两个实函数分别关于x,y求导简单拼凑成的. 推论 ： 例 判定下列函数在何处可导, 在何处解析: 解 不满足柯西－黎曼方程, 四个偏导数均连续 指数函数 四个偏导数均连续 例6 证 思考题 思考题答案 1.复变量z指数函数的定义: 指数函数的定义等价于关系式: 2. 加法定理 例7 解 解: 1.定义： 无穷多值函数 其余各支为： 例9 解 注意: 在实变函数中, 负数无对数, 而复变数对数函数是实变数对数函数的拓广. 例10 解 例11 解 2. 性质 证明： 说明: 1.定义： 例12 解 答案 课堂练习 例 解 2.幂函数的解析性 它的各个分支在除去原点和负实轴的复平面内解析. 它的各个分支在除去原点和负实轴的复平面内解析. 1. 三角函数的定义 将两式相加与相减, 得 现在把上面余弦函数和正弦函数的自变量取实值推广到自变数取复值的情况. *