泛函笔记剖析.doc

泛函分析笔记 作者：邝雪冰 笔记题目：纲与开映像定理 纲与开映像定理 报告人：邝雪冰 作者简介：邝雪冰 性别：女，硕士研究生 学号：14110011020 导师：李应求教授 研究方向：概率论与数理统计 摘要：本节对有界线性算子的逆算子的有界性问题是在本节中做了初步的讨论，首先从引入疏集的概念，开映射，空间的完备性开始．其次，讲述三个重要的定理：开映像定理，闭图像定理，共鸣定理．有界线性算子是开映射的充分条件[1]．闭图像定理主要是研究算子的连续性与闭性的关系．共鸣定理又称算子族的一致有界原理，其含义是在一定条件下由算子族的点点有界可得出范数有界[2]． 一、知识背景 对于解方程的问题从泛函分析的角度来看，就是对给定算子，求，使得 （3.1） 解的存在性表达成算子有右逆： （表示恒同算子） 若令，则有；而解的唯一性表达成算子有左逆： 由及存在，得，所以解唯一地被决定． 也就是说解存在且唯一，当且仅当线性算子即既有左逆又有右逆．如果算子左右逆同时存在，则它们一定相等，即 所以这时称算子有逆，并记此逆为． 设是由集合到集合的映射，如果且等价于则称为由到B的单射设是从集合到集合的映射，若,即中任一元素b都是中某元素的像，则称为到上的满射都是空间，，算子称为是单射，是指是1-1的，算子称为是满射，是指．若映射既是单射，又是满射，则称映射为到的双射是线性空间，线性算子，如果存在，则也是线性算子； 设是空间，，如果存在，且是有界线性算子，那么称是正则算子； 设是空间，有界，是双射，那么是在上的线性算子．一般来说，未必是有界算子． 主要内容 3.1纲与纲推理 定义3.1.1 设是一个度量空间，集，则称是疏的，如果的内点是空． 命题3.1.2 设是一个度量空间，为了是疏集必须且仅须：球，使得． 证明：必要性 因为无内点，所以不能包含任一球．从而，使得．又由是闭，所以，使得．取 便有 充分性 若不疏，既有内点，则．但由假设 ，使得． 一方面有；另一方面 即得矛盾． 定义3.1.3 在距离空间上，集合称为第一纲的，如果，其中是疏集．不是第一纲的集合是第二纲集． 定理3.1.4 （Baire）完备度量空间是第二纲集． 证： 反证法 倘若是第一纲集，即存在疏集，使得 （3.2） 对任意球，使得； 对，使得； 如此继续下去，对，使得，从而 （3.3） 于是我们得到 而 （3.4） 由此可见是基本列，从而，使得．另一方面在（3.4）式中令得，从而 　　　　 （3.5） 联合（3.3）和（3.5）式，有，这与（3.2）式矛盾． 3.2开映像定理 如果是一个单射，则定义，它是线性的．但它的定义域不一定是全空间，当且它是一个满射时，才是到的一个线性算子，此时，我们讨论是不是连续的． 定义3.2.1 设为两个Banach空间，为到的映射，若对于中的任意开集，的像为中的开集，则称为开映射[3]（把开集映射为开集）． 定理3.2.2 （Banach）设是空间，若，它既是单射又是满射，那么． 证明 根据定理3.2.3证明中的第（3）段，已知 即或 ． 特别地由模的齐次性，，，有． 令得 　　　　 ． 从而． 这一定理有一个更一般的形式，也就是定理3.2.3． 定理 3.2.3 设是空间，若是一个满射，则是开映像 证明 用，分别表示中的开球． 证明是开映射，即开集，是开集，必须且仅须证明：使得 （3.6） 必然性是显然的． 充分性 由于是线性，条件（3.6）等价于 ，按定义，使得。因为是开集，所以．于是取，便有 即是的内点． 证明：使得．这是因为，而是完备的，所以至少有一个，使得非疏．即至少含有一个内点．从而，注意是一个对称凸集，便有，从而 由的齐次性，取，便有． 证明：．，要证，使得，即求方程在内的一个解，我们用逐次逼近法． 对，按（2），，使得 对，按（2），，使得 ························ 对，按（2），，使得 ······················ 于是，令，便有．而 即得， 又因为是连续的，所以 即得． 注： 定理3.2.2与定理3.2.3中的Banach空间可以换成更一般的空间[4] 定理3.2.2中，是第二纲集的假设是不可缺少的（满射及的完备性保证了这一点） 定义3.2.4 设是的线性算子，是其定义域．称是闭的，是指由，以及就能推出，而且． 定理3.2.5 若是空间，