高中总复习第一轮数学 (新人教A) 第七章 7.2 两条直线的位置关系.docVIP

7.2 两条直线的位置关系 巩固·夯实基础 一、自主梳理 1.点和直线的位置关系 设P(x0,y0),l:Ax+By+C=0,则 (1)点P在直线l上Ax0+By0+C=0; (2)点P不在直线l上Ax0+By0+C≠0，这时P到直线l的距离d=. 2.直线与直线的位置关系 (1)有斜率的两直线l1:y=k1x+b1,l2:y=k2x+b2,则l1∥l2k1=k2;l1⊥l2k1·k2=-1;l1与l2相交k1≠k2. (2)若两直线为l1:A1x+B1y+C1=0,l2:A2x+B2y+C2=0,则l1∥l2A1B2-A2B1=0;l1⊥l2A1A2+B1B2=0. 3.到角与夹角 (1)l1到l2的角:l1绕交点按逆时针方向旋转到l2所成的角.且tanθ=(k1k2≠-1). (2)l1与l2的夹角为θ，则θ∈［0,］,且tanθ=||(k1k2≠-1). 二、点击双基 1.三直线ax+2y+8=0,4x+3y=10,2x-y=10相交于一点,则a的值是（ ） A.-2 B.-1 C.0 D.1 解析：解方程组 得交点坐标为(4,-2), 代入ax+2y+8=0,得a=-1. 答案：B 2.直线x+y-1=0到直线xsinα+ycosα-1=0(＜α＜＝的角是（ ） A.α- B.-α C.α- D.-α 解析：由tanθ= ==tan(-α)=tan(-α), ∵＜α＜,-＜-α＜0, ＜-α＜π, ∴θ=-α. 答案：D 3.若直线l:x+ay+2=0平行于直线2x-y+3=0，则直线l在两坐标轴上截距之和是( ) A.6 B.2 C.-1 D.-2 解析：由l与2x-y+3=0平行得= ∴a=-，即l:x-y+2=0. 令x=0,得y=4.令y=0,得x=-2. x+y=-2+4=2. 答案：B 4.若直线l1:ax+2y+6=0与直线l2:x+(a-1)y+(a2-1)=0平行且不重合，则a的值是___________. 解析：利用两直线平行的条件. 答案：-1 5.在过点(2,1)的所有直线中，距原点最远的直线方程是________________________________. 解析：距原点距离最远则原点在直线上的射影为(2,1)，∴k=-=-2. ∴y-1=-2(x-2),即2x+y-5=0. 答案：2x+y-5=0 诱思·实例点拨 【例1】 等腰三角形一腰所在直线l1的方程是x-2y-2=0，底边所在直线l2的方程是x+y-1=0，点(-2,0)在另一腰上，求该腰所在直线l3的方程. 剖析：用到角公式求出l3的斜率，再用点斜式可求l3的方程. 解：设l1、l2、l3的斜率分别为k1、k2、k3，l1到l2的角是θ1，l2到l3的角是θ2，则k1=,k2=-1，tanθ1===-3. ∵l1、l2、l3所围成的三角形是等腰三角形， ∴θ1=θ2，tanθ1=tanθ2=-3， 即=-3,=-3,解得k3=2. 又∵直线l3经过点(-2,0), ∴直线l3的方程为y=2(x+2)， 即2x-y+4=0. 讲评：本题根据条件作出合理的假设θ1=θ2，而后利用直线到直线所成角的公式，最后利用点斜式，求出l3的方程. 链接·提示 用夹角公式会产生什么问题，怎样去掉增解呢？ 【例2】 已知两直线l1：x+ｍ2y+6=0，l2：（ｍ-2）x+3ｍy+2ｍ=0，当ｍ为何值时，l1与l2 (1)相交；(2)平行；(3)重合? 剖析：依据两直线位置关系判断方法便可解决. 解：当m=0时，l1：x+6=0，l2：x=0， ∴l1∥l2. 当m=2时，l1：x+4y+6=0，l2：3y+2=0， ∴l1与l2相交. 当ｍ≠0且ｍ≠2时，由=得m=-1或m=3，由=得ｍ=3. 故(1)当ｍ≠-1，ｍ≠3且ｍ≠0时，l1与l2相交； (2)当ｍ=-1或ｍ=0时，l1∥l2； （3）当ｍ=3时，l1与l2重合. 讲评：对这类问题，要从直线有斜率、没有斜率两个方面进行分类讨论. 【例3】 当m为何值时，三条直线l1:4x+y=4,l2:mx+y=0,l3:2x-3my=4不能构