高中总复习第一轮数学 (新人教A) 第六章 6.3 不等式的证明(二).docVIP

6.3 不等式的证明(二) 巩固·夯实基础 一、自主梳理 1.用综合法证明不等式:利用不等式的性质和已证明过的不等式以及函数的单调性导出待证不等式的方法叫综合法,概括为“由因导果”. 2.用分析法证明不等式：从待证不等式出发，分析并寻求使这个不等式成立的充分条件的方法叫分析法，概括为“执果索因”. 除三种基本方法外,还有以下常用方法: (1)反证法:是先假设结论不成立,并由此出发,推出与题设条件或已经知道的结论相矛盾的结果,从而说明结论成立. (2)换元法:原不等式的代数式,经适当的三角代换或代数换元,能使证明的过程简化. (3)放缩法:借助于不等式的传递性,要证ab,只需证ac,cb,或借助于其他途径放缩,如舍项、添项等. 值得注意的是,放缩法是高考的“热点”，特别在解答题中，注意使用. (4)构造函数法、导数法在证明不等式时,也经常使用. (5)数学归纳法证明不等式在数列中的运用也应引起重视. 链接·提示 不等式证明方法多,证法灵活,其中比较法、分析法、综合法是基本方法,要熟练掌握,其他方法作为辅助,这些方法之间不能截然分开,要综合运用. 二、点击双基 1.若a、b、c∈R,ab,则下列不等式成立的是( ) A. B.a2b2 C. D.a|c|b|c| 解析：由不等式的性质容易得答案C. 答案：C 2.(理)若不等式(-1)na2+对任意n∈N*恒成立,则实数a的取值范围是（ ） A.［-2,］ B.[-2,) C.［-3,］ D.(-3,) 解析:当n为正偶数时, a2-,又2-为增函数, ∴a2-=.当n为正奇数时,-a2+,a-2-. 而-2-为增函数,-2--2,∴a≥-2.故a∈［-2,). 答案:A (文)(经典回放)若＜＜0，则下列结论不正确的是( ) A.a2＜b2 B.ab＜b2 C.+＞2 D.|a|+|b|＞|a+b| 解析:由＜＜0,知b＜a＜0. ∴A不正确. 答案:A 3.设函数f(x)是定义在R上,周期为3的奇函数,若f(1)1,f(2)=,则( ) A.a且a≠-1 B.-1a0 C.a-1或a0 D.-1a2 解析:由题意得f(-2)=f(1-3)=f(1)1, ∴-f(2)1, 即- 1. ∴0,即3a(a+1)0. ∴a-1或a0.故选C. 答案:C 4.同学们都知道,在一次考试后,如果按顺序去掉一些高分,那么班级的平均分将降低;反之,如果按顺序去掉一些低分,那么班级的平均分将提高.这两个事实可以用数学语言描述为:若有限数列a1,a2,…,an满足a1≤a2≤…≤an,则________(结论用数学式子表示). 解析：设原有人数为n,去掉n-m个人(1≤mn), n个人的平均分为; m个人的平均分为. 依题意,≤, ≥ 答案:≤(1≤mn)和≥(1≤mn) 诱思·实例点拨 【例1】 设实数x、y满足ｙ＋x2=0，0＜a＜1.求证：loga（ax＋ay）loga2＋． 剖析:不等式左端含x、y，而右端不含x、y，故从左向右变形时应消去x、y. 证明:∵ax＞0，ay＞0， ∴ax＋ay≥2=2． ∵x-x2=-（x-）2≤，0＜a＜1， ∴ax＋ay≥2=2． ∴loga（ax＋ay）loga2=loga2＋． 讲评:本题的证题思路可由分析法获得.要证原不等式成立，只要证ax＋ay≥2·即可． 【例2】 已知a、b、c∈R+，且a+b+c=1.求证： （1+a)(1+b)(1+c)≥8(1-a)(1-b)(1-c). 剖析:在条件“a+b+c=1”的作用下，将不等式的“真面目”隐含了，给证明不等式带来困难，若用“a+b+c”换成“1”，则还原出原不等式的“真面目”，从而抓住实质，解决问题. 证明:∵a、b、c∈R+且a+b+c=1, ∴要证原不等式成立, 即证［(a+b+c)+a］·［(a+b+c)+b］［(a+b+c)+c］≥8［(a+b+c)-a］·［(a+b+c)-b］·［(a+b+c)-c］, 也就是证［(a+b)+(c+a)］［(a+b)+(b+c)］·［(c+a)+(b+c)］≥8(b+c)(c+a)(a+b). ① ∵(a+