高中总复习第一轮数学 (新人教A) 第十三章 导数(理) 13.3 导数的综合应用.docVIP

13.3 导数的综合应用 巩固·夯实基础 一、自主梳理 1.利用导数研究函数的单调性,从而可解决比较大小、极值问题、单峰函数的最值问题. 2.利用导数的几何意义研究曲线的切线问题. 3.利用导数解决物体的运动速度问题. 二、点击双基 1.某物体作s=2(1-t)2的直线运动，则t=0.8 s时的瞬时速度为( ) A.4 B.-4 C.-4.8 D.-0.8 解析:s′=-4(1-t),∴当t=0.8 s时，v=-0.8. 答案:D 2.函数f(x)=x3-6bx+3b在(0,1)内有极小值，则( ) A.b0 B.b C.0b D.b1 解析:f′(x)=3x2-6b,令f′(x)=0，得x=±b. ∵f(x)在(0,1)内有极小值，∴0b1.∴0b. 答案:C 3.函数f(x)=ax+loga(x+1)在［0，1］上的最大值与最小值之和为a,则a的值为( ) A. B. C.2 D.4 解析:f′(x)=axlna+logae. ∵x∈［0,1］, ∴当a1时,axlna+logae0. ∴f(x)为增函数. 当0a1时,axlna+logae0, ∴f(x)为减函数. ∴f(0)+f(1)=a. ∴a=. 答案:B 4.已知曲线y=x3+,则过点P(2,4)的切线方程是___________________. 解析:y′=x2,当x=2时,y′=4. ∴切线的斜率为4. ∴切线的方程为y-4=4(x-2)， 即y=4x-4. 答案:4x-y-4=0 5.设底为等边三角形的直棱柱的体积为V，那么其表面积最小时，底面边长为____________. 解析:设底面边长为x,则高为h=, ∴S表=3×·x+2×x2=+x2. ∴S′=-+x. 令S′=0，得x=. 答案: 诱思·实例点拨 【例1】设x-2,n∈N*,比较(1+x)n与1+nx的大小. 剖析:从条件最易想到归纳——猜想——证明，但证明由n=k到n=k+1时，(1+x)k+1=(1+x)k· (1+x)过渡到(1+x)k时不等方向不确定，故需按1+x的符号讨论证明.但本题若用导数解就比较简单了. 解:设f(x)=(1+x)n-1-nx, 当n=1时，f(x)=0, ∴(1+x)n=1+nx. 当n≥2，n∈N*时, f′(x)=n(1+x)n-1-n=n［(1+x)n-1-1］, 令f′(x)=0,得x=0. 当-2x0时，f′(x)0,f(x)在(-2,0)上为减函数； 当x0时，f(x)0. ∴f(x)在［0,+∞］上为增函数. ∴当x-2时，f(x)≥f(0)=0. ∴(1+x)n≥1+nx. 综上,得(1+x)n≥1+nx. 讲评:构造函数法是比较两个多项式的大小或证明不等式常用的方法. 链接·拓展 本题可用归纳——猜想——证明法解. 当n=1时，(1+x)1=1+x. 当n=2时，(1+x)2=1+2x+x2≥1+2x. 当n=3时，(1+x)3=1+3x+3x2+x3=1+3x+x2(3+x)≥1+3x. 猜想:(1+x)n≥1+nx. 证明:当x≥-1时， (1)当n=1时，(1+x)n≥1+nx成立. (2)假设n=k时，(1+x)k≥1+kx成立， 那么(1+x)k+1=(1+x)k·(1+x)≥(1+x)·(1+kx)=1+(k+1)x+kx2≥1+(k+1)x. ∴当n=k+1时，(1+x)n≥1+nx成立. 由(1)(2)可知，当x≥-1时，对n∈N*，(1+x)n≥1+nx. 当-2x-1时，当n=1时，(1+x)n=1+x；当n≥2时，|1+x|1. ∴|1+x|n1.而1+nx1-n≤-1, ∴(1+x)n1+nx. 综上,得(1+x)n≥1+nx正确. 【例2】已知函数f(x)=的图象在点M(-1,f(-1))处的切线方程为x+2y+5=0. (1)求函数y=f(x)的解析式; (2)求函数y=f(x)的单调区间. 剖析:(1)f′(1)即为x+2y+5=0的斜率,从而得出一个关于a、b的关系