高中总复习第一轮数学 (新人教A) 第九章9.10 棱柱与棱锥.docVIP

9.10 棱柱与棱锥 巩固·夯实基础 一、自主梳理 1.有两个面互相平行，其余各面的公共边互相平行的多面体叫做棱柱.侧棱与底面垂直的棱柱叫做直棱柱.底面是正多边形的直棱柱叫正棱柱. 2.棱柱的各侧棱相等，各侧面都是平行四边形；长方体的对角线的平方等于由一个顶点出发的三条棱的平方和. 3.一个面是多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形的多面体叫做棱锥.底面是正多边形并且顶点在底面上的射影是正多边形的中心的棱锥叫做正棱锥. 4.棱锥中与底面平行的截面与底面平行，并且它们面积的比等于对应高的平方比. 在正棱锥中，侧棱、高及侧棱在底面上的射影构成直角三角形；斜高、高及斜高在底面上的射影也构成直角三角形. 二、点击双基 1.设M＝｛正四棱柱｝，N＝｛直四棱柱｝，P＝｛长方体｝，Ｑ＝｛直平行六面体｝，则四个集合的关系为( ) A.MPNQ B.MPQN C.PMNQ D.PMQN 解析:理清各概念的内涵及包含关系. 答案:B 2.如图,在斜三棱柱ABC—A1B1C1中,∠BAC=90°,BC1⊥AC,则C1在底面ABC上的射影H必在( ) A.直线AB上 B.直线BC上 C.直线AC上 D.△ABC内部 解析:由AC⊥AB,AC⊥BC1,知AC⊥面ABC1,从而面ABC1⊥面ABC,因此,C1在底面ABC上的射影H必在两面的交线AB上. 答案:A 3.正四棱锥底面边长为4,侧棱长为3,则其体积为_______________. 解析:该正四棱锥的高h==1,体积V=·S·h=·42·1=. 答案: 4.若正三棱锥底面边长为4，体积为1，则侧面和底面所成二面角的大小等于____________.（结果用反三角函数值表示） 解析:取BC的中点D,连结SD、AD，则SD⊥BC，AD⊥BC. ∴∠SDA为侧面与底面所成二面角的平面角,设为α.在平面SAD中，作SO⊥AD与AD交于O，则SO为棱锥的高.AO=2DO， ∴OD=. 又VS—ABC=·AB·BC·sin60°·h=1, ∴h=.∴tanα===. ∴α=arctan. 答案:arctan 5.过棱锥高的三等分点作两个平行于底面的截面,它们将棱锥的侧面分成三部分的面积的比(自上而下)为___________________. 解析:由锥体平行于底面的截面性质,知自上而下三锥体的侧面积之比S侧1∶S侧2∶S侧3=1∶4∶9,所以锥体被分成三部分的侧面积之比为1∶3∶5. 答案:1∶3∶5 诱思·实例点拨 【例1】已知E、F分别是棱长为a的正方体ABCD—A1B1C1D1的棱A1A、CC1的中点，求四棱锥C1—B1EDF的体积. 解法一:连结A1C1、B1D1交于O1，过O1作O1H⊥B1D于H， ∵EF∥A1C1, ∴A1C1∥平面B1EDF. ∴C1到平面B1EDF的距离就是A1C1到平面B1EDF的距离. ∵平面B1D1D⊥平面B1EDF， ∴O1H⊥平面B1EDF，即O1H为棱锥的高. ∵△B1O1H∽△B1DD1, ∴O1H==a, =稯1H=?稥F稡1D稯1H=B1D??a?a?a=a3. 解法二:连结EF，设B1到平面C1EF的距离为h1,D到平面C1EF的距离为h2,则h1+h2=B1D1=a, ∴=+=··(h1+h2)=a3. 解法三:=--=a3. 链接·提示 求体积常见方法有:①直接法(公式法);②分割法;③补形法. 【例2】 如图所示,在四棱锥P—ABCD中,底面ABCD是矩形,PA=AB=2,BC=a,又侧棱PA⊥底面ABCD. (1)当a为何值时,BD⊥平面PAC?试证明你的结论. (2)当a=4时,求D点到平面PBC的距离. (3)当a=4时,求直线PD与平面PBC所成的角. 剖析:本题主要考查棱锥的性质,直线、平面所成的角的计算和点到平面的距离等基础知识.同时考查空间想象能力、逻辑推理能力和计算能力. 解:(1)以A为坐标原点,以AD、AB、AP所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系,当a=2时,BD⊥AC,又PA⊥BD,故BD⊥平面PAC.故a=2. (2)当a=4时,D(4,0,0)、C(0,2,0)、C(4,2,0)、P(0,0,2),=(0,2,-2),=(4,0,0). 设平面PBC的法向量为n,则n·=0,n·=0,即(x,y,z)·(0,2,-2)=0,(x,y,z)·(4,0,0)=0,得x=0,y=z,取y=1,故n=