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近似与逼近的基础理论 ——— 0 8 数学试点班 颜轲 ． 近似 对于没必要或没办法给出精确度量的数值,可用一个可以或容易度量和计算的数值在一定范围内代替原数值的性质. ． 近似 光速 ＝ ２９９７９２４５８ m / s 没必要的与没办法的 没必要的 没办法的 光速 ≈ ３×１０８m/s 光速 ≈ ２９９７９２４５８ m / s 从祖冲之的圆周率谈起 π ≈ 3π ≈ 3π ≈ 3 π ≈ 3.1 …… π ≈ 3.14 π ≈ 3.142 π ≈ 3 π ≈ 3 + 1/10 π ≈ 3 + 14/100 π ≈ 3 + 142/1000 …… π的估计实际上是有理数数列的逼近 π ≈ 3 π ≈ 3 + 1/13 …… π ≈ 3 + 23/169 π ≈ 3 + 311/2197 怎样的估计才是漂亮的? 祖冲之圆周率的疏率和密率 疏率 = 22/7 密率 = 355/113 以π的疏率和密率为例 记作 3.1415926 = 3 + 1/7⊕1/15⊕1/1 …… 发现: 3 + 1/7 = 22/7 3 + 1/7⊕1/15⊕1/1 = 355/113 以上两个分数正好是祖冲之给出的疏率和密率 类似地,通过连分数的近似估计给出的近似值称为渐进分数. 类似地,通过连分数的近似估计给出的近似值称为渐进分数. 从历法说起 四年一闰,百年又少一闰. 一回归年 ≈ 365.24天 0.24 ≈ 1／4 100／4－100×0.24＝1 更精确的,一回归年 ≈ 365.2422天 按上诉算法,每 10000 年还要多 22 个闰年 从历法说起 0.2422 ＝ 1/4⊕1/7⊕1/1⊕1/3⊕ …… 0.2422 ≈ 1/4 , 7/29 , 8/33 , 31/128 注意到 1/4 为 0.2422 的渐进分数 但 24/100 不为其渐进分数 事实上 24/100 是由 24/99 改成的 最佳逼近 通过反复计算可以发现: 在分母不大于 7 的分数中, 没有比 22/7 更接近π的分数. 在分母不大于 113 的分数中, 没有比 355/113 更接近π的分数. 通过反复计算可以发现: 在分母不大于 7 的分数中, 没有比 22/7 更接近π的分数. 在分母不大于 113 的分数中, 没有比 355/113 更接近π的分数. 最佳逼近 定义: 对于实数ａ及分数p/q, 若对于任意的 sq 及任意的t, 均有|t/s-ａ||p/q-ａ|, 则称分数 p/q 为ａ的最佳逼近. 定义: 对于实数ａ及分数p/q, 若对于任意的 sq 及任意的t, 均有|t/s-ａ||p/q-ａ|, 则称分数 p/q 为ａ的最佳逼近. 最佳逼近 通过上诉的一系列例子,容易猜测: 如果 ａ=1/a1 ⊕ 1/a2 ⊕ …… ⊕ 1/an ⊕ …… 则分数 ｂ=1/a1 ⊕ 1/a2 ⊕ …… ⊕ 1/an 即为ａ的一个最佳逼近. 这个猜想是正确的!!!!!! 这个命题可由一系列的引理,反证和归纳证明. 通过上诉的一系列例子,容易猜测: 如果 ａ=1/a1 ⊕ 1/a2 ⊕ …… ⊕ 1/an ⊕ …… 则分数 ｂ=1/a1 ⊕ 1/a2 ⊕ …… ⊕ 1/an 即为ａ的一个最佳逼近. 对 2 的平方根做类似的估计 2 的平方根 = 1 + 1/2⊕1/2 ⊕1/2 ⊕1/2 ⊕1/2 ⊕1/2 ⊕1/2 …… 1 , 3/2 , 7/5 , 17/12 , 41/29 , 99/70 , 239/169 , 577/408 , 1393/985 …… 2 的平方根 “疏率”= 41/29 “密率”= 577/408 2 的平方根 “疏率”= 41/29 “密率”= 577/408 估计到底有多精确？？？ 2的平方根在 577/408 和 1393/985 之间 即 1393/985 2的平方根 577/408 而 577/408 － 1393/985 ＝ 1/(408 × 985) 粗略估计，精确度高达 401880分之一 向祖冲之致敬 谢谢观看!