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电磁感应中的双动式导轨问题 浙江省湖州二中　俞根强 摘要：本文分析归纳了有关双动式导轨的四种常见情况，对培养学生综合应用知识解决问题的能力具有独特的意义。 在电磁感应中，有三类重要的导轨问题：1．发电式导轨；2．电动式导轨；3．双动式导轨。导轨问题，不仅涉及到电磁学的基本规律，还涉及到受力分析，运动学，动量，能量等多方面的知识，以及临界问题，极值问题。尤其是双动式导轨问题要求学生要有较高的动态分析能力，它对培养学生综合应用知识解决问题的能力具有独特的意义。笔者在平时教学实践中总结了下列几种常见的情况，以供大家探讨。 一、等间距水平导轨，无水平外力作用（安培力除外，下同） 例1 两根足够长的固定的平行金属导轨位于同一水平面内，两导轨间的距离为。导轨上面横放着两根导体棒和，构成矩形回路，如图所示。两根导体棒的质量皆为，电阻皆为，回路中其余部分的电阻可不计。在整个导轨平面内都有竖直向上的匀强磁场，磁感应强度为。设两导体棒均可沿导轨无摩擦地滑行，开始时，棒静止，棒有指向棒的初速度。若两导体棒在运动中始终不接触，求： （1）在运动中产生的焦耳热最多是多少？ （2）当棒的速度变为初速度的时，棒的加速度是多少？ 解析 棒向棒运动时，两棒和导轨构成的回路面积变小，磁通量变小，于是产生感应电流。棒受到与其运动方向相反的安培力而做减速运动，棒则在安培力的作用下向右做加速运动。只要棒的速度大于棒的速度，回路总有感应电流，棒继续减速，棒继续加速，直到两棒速度相同后，回路面积保持不变，不产生感应电流，两棒以相同的速度做匀速运动。 （1）从开始到两棒达到相同速度的过程中，两棒的总动量守恒，有，根据能量守恒定律，整个过程中产生的焦耳热 。 （2）设棒的速度变为时，棒的速度为，则由动量守恒可知得，此时棒所受的安培力。 由牛顿第二定律可得：棒的加速度。 二、不等间距水平导轨，无水平外力作用 例2 如图所示，光滑导轨、等高平行放置，间宽度为间宽度的3倍，导轨右侧水平且处于竖直向上的匀强磁场中，左侧呈弧形升高。、是质量均为的金属棒，现让从离水平轨道高处由静止下滑，设导轨足够长。试求： (1)、棒的最终速度；(2)全过程中感应电流产生的焦耳热。 解析 下滑进入磁场后切割磁感线，在电路中产生感应电流，、各受不同的磁场力作用而分别作变减速、变加速运动，电路中感应电流逐渐减小，当感应电流为零时，、不再受磁场力作用，各自以不同的速度匀速滑动。 (1)自由下滑，机械能守恒： ① 由于、串联在同一电路中，任何时刻通过的电流总相等，金属棒有效长度，故它们的磁场力为： ② 在磁场力作用下，、各作变速运动，产生的感应电动势方向相反，当时，电路中感应电流为零()，安培力为零，、运动趋于稳定，此时有： 所以 ?③ 、受安培力作用，动量均发生变化，由动量定理得： ?④ ? ⑤ 联立以上各式解得：， (2)根据系统的总能量守恒可得： 三、等间距水平导轨，受水平外力作用 例3 两根平行的金属导轨，固定在同一水平面上，磁感强度的匀强磁场与导轨所在平面垂直，导轨的电阻很小，可忽略不计。导轨间的距离，两根质量均为的平行金属杆甲、乙可在导轨上无摩擦地滑动，滑动过程中与导轨保持垂直，每根金属杆的电阻为。在时刻，两杆都处于静止状态。现有一与导轨平行，大小为0.20N的恒力作用于金属杆甲上，使金属杆在导轨上滑动。经过，金属杆甲的加速度为，求此时两金属杆的速度各为多少？ 解析 设任一时刻两金属杆甲、乙之间的距离为，速度分别为和，经过很短时间，杆甲移动距离，杆乙移动距离，回路面积改变 由法拉第电磁感应定律，回路中的感应电动势： 回路中的电流： 杆甲的运动方程： 由于作用于杆甲和杆乙的安培力总是大小相等、方向相反，所以两杆的动量变化（时为0）等于外力F的冲量： 联立以上各式解得 代入数据得＝8.15m/s? ＝1.85m/s 四、竖直导轨问题 例4　如图所示，竖直放置的两光滑平行金属导轨，置于垂直于导轨平面向里的匀强磁场中，两根质量相同的导体棒和，与导轨紧密接触且可自由滑动。先固定，释放，当的速度达到时，再释放，经过1s后，的速度达到，则（1）此时的速度大小是多少？（2）若导轨很长，、棒最后的运动状态。 解析 （1） 当棒先向下运动时，在和以及导轨所组成的闭合回路中产生感应电流，于是棒受到向下的安培力，棒受到向上的安培力，且二者大小相等。释放棒后，经过时间t，分别以和为研究对象，根据动量定理，则有： 代入数据可解得： （2）在、棒向下运动的过程中，棒产生的加速度，棒产生的加速度。当棒的速度与棒接近时，闭合回路中的逐渐减小，感应电流也逐渐减小，则安培力也逐渐减小。最后，两棒以共同的速度向下做加速度为g的匀加速运动。 以上几种常见的情况归纳如下： 类型 水平导轨，无水平外力 不等间