初三数学旋转、圆学生版.docVIP

旋转变换 旋转变换的概念：在平面内，将一个图形G绕着一个定点O沿某个方向（顺时针或逆时针）转动一定的角度，得到另一个图形G’，这样由图形G到图形G’的图形变换叫做旋转。这个定点O叫旋转中心，转动的角称为旋转角。三要素 注：旋转变换的三要素：旋转中心，旋转方向，旋转角。 旋转变换的性质： （1）旋转前、后的图形全等对应点与旋转中心连线所成的角彼此相等等和3的两个等边三角形纸片ABC和C′D′E′叠放在一起（C与C′重合）. （1）操作：固定△ABC，将△C′D′E′绕点C顺时针旋转30°得到△CDE，连结AD、BE，CE的延长线交AB于F（图2）； 探究：在图2中，线段BE与AD之间有怎样的大小关系？试证明你的结论.（4分） （2）操作：将图2中的△CDE，在线段CF上沿着CF方向以每秒1个单位的速度平移，平移后的△CDE设为△PQR（图3）； 探究：设△PQR移动的时间为x秒，△PQR与△ABC重叠部分的面积为y，求y与x之间的函数解析式，并写出函数自变量x的取值范围.（5分） （3）操作：图1中△C′D′E′固定，将△ABC移动，使顶点C落在 C′E′的中点，边BC交D′E′于点M，边AC交D′C′于点N，设 ∠AC C′ α（30°＜α＜90°）（图4）； 探究：在图4中，线段C′N·E′M的值是否随α的变化而变化？如果没有变化，请你求出C′N·E′M的值，如果有变化，请你说明理由.（4分） 例2． 将两块含30°角且大小相同的直角三角板如图1摆放。 （1）将图1中△绕点C顺时针旋转45°得图2，点与AB的交点，求证：； （2）将图2中△绕点C顺时针旋转30°到△（如图3），点与AB的交点。线段之间存在一个确定的等量关系，请你写出这个关系式并说明理由； （3）将图3中线段绕点C顺时针旋转60°到（如图4），连结， 求证：⊥AB. 例3．已知正方形ABCD的边长AB k（k是正整数），正△PAE的顶点P在正方形内，顶点E在边AB上，且AE 1. 将△PAE在正方形内按图1中所示的方式，沿着正方形的边AB、BC、CD、DA、AB、……连续地翻转n次，使顶点P第一次回到原来的起始位置. （1）如果我们把正方形ABCD的边展开在一直线上，那么这一翻转过程可以看作是△PAE在直线上作连续的翻转运动. 图2是k 1时，△PAE沿正方形的边连续翻转过程的展开示意图. 请你探索：若k 1，则△PAE沿正方形的边连续翻转的次数n 时，顶点P第一次回到原来的起始位置. （2）若k 2，则n 时，顶点P第一次回到原来的起始位置；若k 3，则 n 时，顶点P第一次回到原来的起始位置. （3）请你猜测：使顶点P第一次回到原来的起始位置的n值与k之间的关系（请用含k的代数式表示n）. 例4．操作：在△ABC中，AC＝BC＝2，∠C＝900，将一块等腰三角形板的直角顶点放在斜边AB的中点P处，将三角板绕点P旋转，三角板的两直角边分别交射线AC、CB于D、E两点。图①，②，③是旋转三角板得到的图形中的3种情况。研究： （1）三角板绕点P旋转，观察线段PD和PE之间有什么数量关系？并结合图②加以证明。 （2）三角板绕点P旋转，是否能居为等腰三角形？若能，指出所有情况（即写出△PBE为等腰三角形时CE的长）；若不能，请说明理由。 （3）若将三角板的直角顶点放在斜边AB上的M处，且AM：MB＝1：3，和前面一样操作，试问线段MD和ME之间有什么数量关系？并结合图④加以证明。 例5、已知，点P是正方形ABCD内的一点，连PA、PB、PC. （1）将△PAB绕点B顺时针旋转90°到△P′CB的位置（如图1）. ①设AB的长为a，PB的长为b（b a），求△PAB旋转到△P′CB的过程中边PA所扫过区域（图1中阴影部分）的面积； ②若PA 2，PB 4，∠APB 135°，求PC的长. （2）如图2，若PA2+PC2 2PB2，请说明点P必在对角线AC上. 圆综合复习 【知识重点】 1. 垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧，平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。 2. 在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等。 3. 在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半。 半圆（或直径）所对的圆周角是直角，的圆周角所对的弦是直径。 ? 4. 点和圆的位置关系，设⊙O半径为，点P到圆心的距离。 则有：点P在⊙O外；点P在⊙O上；点P在⊙O内。 ? 5. 不在同一直线上的三个点确定一个圆。 ? 6. 直线和圆的位置关系，设⊙O半径为，直线到圆心O的距离为。 则有：直线和⊙O相交；直线和⊙O相切；直线和⊙O相离。 ? 7. 切线的性质和判定：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线，