第四章整环里的因式分解.pptVIP

一、几个概念 设K是整环 2.单位：可逆元 3.公因子 4.相伴 例4 6.不可约元 7.唯一分解元 例6 例6 8.素元 二、唯一分解环 近世代数 第四章 整环里的因子分解 §2 主理想整环、欧式环 一、主理想整环 二、欧式环 例2 例3 定理2 辗转相除法 例4 例5 玉林师范学院数计系 近世代数 §2 主理想整环、欧式环 第四章 整环里的因子分解 §1 唯一分解环 整除: 性质: 称b整除a，并称b是a的一个因子，a是b的倍元. 在 中,3|18,而 3|7 中, ,而 在 例1： 在 中, 2+i|5,而 2+i|3+i. 例2： （1）Z中只有两个单位： （2）Z[i]的单位有： 的单位有： 1和-1； 1，-1，i，-i； 1和-1. 性质: （1）一个整环至少有两个单位：1和-1； （2）两个单位的乘积也是单位； （3）单位的逆元也是单位. 公因子： .如果 ,则称d为a与b的一个公因子. (1) d为a与b的公因子； 最高公因子： (2) 如果c为a与b的任一公因子, 则有c|d， 如果d满足： 则称d为a与b的一个最高公因子(或最大公因子). 如果d为a与b的任一最高公因子, 性质： 则任给单位u, du还是a与b的最高公因子. 若存在单位 ，使得 则称b与a相伴， 也称b是a的相伴元 记作 5.平凡因子： 称单位和相伴元为平凡因子； 称除了平凡因子的因子（若有的话）为真因子. 例3 在 中, 其中1与-1为单位, 6和-6与6相伴, 6有因子:1,-1,2,-2,3,-3,6,-6. 2,-2,3,-3为6的真因子. 5的平凡因子： 全部真因子为： 求 中5的因子. 不是单位， 则称为不可约元； 若只有平凡因子， 若有真因子，称为可约元. 例5: Z中全部不可约元：素数及相反数. 性质： 有真因子 都不是单位 （2） （1）不可约元与单位乘积是不可约元； 是 中一个非零、非单位的元素.若 满足:(1) 可分解为 中不可约元的乘积, (2) 的上述分解式在相伴的意义下是 有另一分解式: 则有 ,且适当交换因子的次序, 有 ,则称 在 中能唯一分解. 唯一的, 即如果 (1)9在Z中能唯一分解. (2)9在 中不能唯一 分解. 证明： 的单位只有1和-1； （1） （2） 的元都是不可约元： 则是单位； 则是相伴元. 在Z中无解； 因此 的元都是不可约元. (1)9在Z中能唯一分解. (2)9在 中不能唯一 分解. 证明： 的单位只有1和-1； （1） （2） 的元都是不可约元： （3） 性质：素元一定是不可约元； 例7 在Z中全部素元： 不是单位， 则称 p 为素元. 不可约元未必是素元. 素数及相反数 问题：是否整环中非零、非单位的元素都能 中任一非零非单位的元素都 是唯一分解环. （不一定） 唯一分解？ 定义：如果 能唯一分解,则称 定理1 唯一分解环的不可约元等同于素元. 定理2 若 有以下性质： 都可以分解成不可约元的乘积； 是唯一分解环. （1）每一个非零、 （2）不可约元都是素元, 则 非单位的元素 例8 为唯一分解环. 定理3 唯一分解环中,任何两个元都有 最高公因子；a,b的两个最高公因子只能差 一个单位因子. 定义1： 引理1：假定R是一个主理想环，若在序列 如果整环R的每一个理想都是一个 称其为主理想环. 主理想， 引理2：假定R是一个主理想环，那么I的 a1,a2,a3,…,(ai∈R)里每一个元是前面一个的 真因子，那么这个序列一定是一个有限序列. 定理1：一个主理想环R是一个唯一分解环. 一个不可约元P生成一个最大理想. 定义2 设 为整环, 为 到 的映射. 如果 满足:任给 ,存在 ,使得 这里, ,则称 关于 做成一个欧氏环. 例1 是欧氏环. 证明： 且 是欧氏环. 设 为域,环 是欧氏环. 设 ,令 证明: 如果 ,则存在 ,使得 .令 （2）如果 ,取 ,使得 为 中次数最小的多项式,则 ,使得 存在 下证: (反证) 如果 ,令 ,令 则 .而 与 的选取矛盾. Z[i] 是欧氏环. 证明 令 ,那么,将 限制到 上,称为 到 的映射. ,有 如果 ,令 对任意的 ,取 ,使得 ，则 ,于是 ，令 ,则 ,且 ,而 所以 是欧氏环. 欧氏环必是主理想整环, 因而也是唯一分解环. 证明 设 关于 做成一个欧氏环, 为 的任一理想. 如果 ,则 如果 ,令 则 非空,且 . 设 : ,使得 为 中的最小数, 下证 任给 ,因为 ,所以存在 ,使得 于是, 如果 ,则 ,与 矛盾.所以 ,于是 由 的任意性可知 又 ,所以 ,从而 的选取 则 这就证明了, 的任一理想都