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习题八: 同态与同构 1．证明：如果是由,★到的同态映射，是由到的同态映射，那么，是由,★到的同态映射。 2．设是一个群，而，如果是到的映射，使得对于每一个，都有 试证明是一个从到上的自同构。 3．试证由表5-8.9所给出的两个群,★和是同构的。 表5-8.9 ,★ 4．设，都是从代数系统,★到代数系统的同态。设是从到的一个映射，使得对任意，都有 证明：如果是一个可交换半群，那么是一个由,★到的同态。 5．是实数集上的加法群，设 是同态否？如果是，请写出同态象和同态核。 6．证明：循环群的同态象必定是循环群。 8．与同构吗？ 8．证明：一个集合上任意两个同余关系的交也是一个同余关系。 9．证明定理5-8.4中在上所定义的二元运算*是唯一确定的。 10．考察代数系统，以下定义在上的二元关系是同余关系吗？ a) 当且仅当 b) 当且仅当 c) 当且仅当（）() d) 当且仅当 11．设和都是群,★到群的同态，证明,★是,★的一个子群，其中 12．设为从群到的同态映射，则为入射当且仅当。其中，是中的幺元。 13．设为有限群，且关于运算满足右消去律，置 ， 设为函数的复合运算。证明： （1）是半群。 （2）与同构。 14．下面哪些是对称群的子群？ （1）。 （2）。 （3）。 （4）。 15． 设，是群G的两个互不包含的子群，则G的子集是否构成G 的子群？为什么? 16．设G是群，A，B为子群，试证明若，则或。 17．证明群G的子群H是正规子群的充要条件是，这里。 18．设H是G的子群，H的阶数为n，且G的阶数为n的子群只有一个，证明：H是G的 正规子群。 19．设为交换群，n为正整数，证明：。 20．设是一群，，定义函数； 证明：是G的自同构。 21．设是群，R为G上的等价关系，且对任意的，若， 则。置，其中是幺元。证明：是的子群。 22．设是一群，。定义：。 证明也是一群。 23．设H是G的子群，。问是否是一个映射?是否是一个单值映射？ 24．设g是群到的一个同态，而K是g的核，证明同构于。 其中上的二元运算定义为：。 25．设是一个群，是一个代数系统，其中*是B上的代数运算。如 果存在A到B的满射，，则H也是一个群，且G与H 同构。 26．证明4 阶群必为循环群或四元群。 27．设G是群，是G的子群，且 （1）； （2）； （3）。 在上定义。 求证：是一个群，且。 28．G为群，，且，其中，y是2 阶元。这里e是单位元。求x 的阶。要求写出解题过程。 29．G为群，，且，，。 （1）证明：若、的阶分别为、，则c的阶整除m与n的最大公因子。 （2）若的阶均为2，给出集合的生成子群。 30．设G为n阶群，。令，。 证明： （1）。 （2）设是群G的中心，且，则。 ★ *