一、单项选择题(每题3分，共18分).docVIP

《数论初步》第一章辅导 一、计算题 求24871与3468的最大公因数? 分析：利用辗转相除法， r即最大公因数 解： 24871=34687+595 3468=5955+493 595=4931+102 493=1024+85 102=851+17 85=175, 所以,(24871,3468)=17. 求[24871,3468]=? 解：因为 （24871,3468）=17 所以 [24871,3468]= =5073684 所以24871与3468的最小公倍数是5073684。 3、求[525,231]=? 解：解：因为 （525,231）=21 所以 [525,231]= =5775 4、求[136,221,391]=? 分析：如果()是个整数，则=.先求[136,221]=1768，再求[1768,391]=40664，即是136,221,391三数的最大公倍数 解： [136,221,391]=[[136,221],391] =[]=[1768,391] = =104391=40664. 二、证明题 如果是两个整数,,则存在唯一的整数对,使得,其中. 分析：注意“存在唯一”的含义，即证明存在性、唯一性。 证明 ：首先证明唯一性.设,是满足条件的另外整数对,即 ,. 所以,即,.又由于,,所以.如果,则等式不可能成立. 因此,. 其次证明存在性.我们考虑整数的有序列 ……,…… 则整数应介于上面有序列的某两数之间,即存在一整数使 . 我们设,则有,. 证明对于任意整数,数是整数. 分析：要证明数是整数，需证明数的结果的分数形式商是整数，化简，得==，于是，要证明数是整数，相当于证明6整除。又因为两个连续整数的乘积是2的倍数,3个连续整数的乘积是3的倍数,即和 并且(2,3)=1,所以根据书本P2.例1可知，所以数是整数，于是得证。 证明： 因为==, 而且两个连续整数的乘积是2的倍数,3个连续整数的乘积是3的倍数, 并且(2,3)=1, 所以从和有, 即是整数. 任意一个位数与其按逆字码排列得到的数的差必是9的倍数. 分析：因为-= 而（10-1）或（1-10）（其中n是整数）均是9的倍数， 所以（1）式右边的每一项均是9的倍数，于是得证。 证明： 因为 , =, 所以,-= 而上面等式右边的每一项均是9的倍数, 于是所证明的结论成立. 证明相邻两个偶数的乘积是8的倍数. 分析：首先设相邻两个偶数分别为。要证明相邻两个偶数的乘积是8的倍数，即证明8整除，即证明8整除。又因为两个连续整数的乘积是2的倍数，所以8整除。得证 证明: 设相邻两个偶数分别为 所以= 而且两个连续整数的乘积是2的倍数 即是8的倍数.