第四讲合同变换法.doc

第四讲　合同变换法 一个集合到它自身的映射叫变换。将几何图形按某种法则或规律变成另一种几何图形的过程叫几何变换。本节主要讨论旋转、平移、对称变换下的不变性和不变量，并且用来处理几何问题。 一、旋转 1．定义 　　　将一图形F上各点绕一定点O转动同一角度，称为旋转，使得图形与F有相同的转向，对应的距离相等，O称为旋转中心，称为旋转角。可记为。若，又叫中心反射或中心对称变换。 2．性质： （1）图形F与其旋转变换下的象是全等图形。 （2）结合性、顺序性是旋转变换下的不变性。 （3）旋转变换下，一对对应直线所成角等于旋转角。 3．例题分析 用旋转变换解几何题，首先考虑有无作旋转变换的条件，一般要有等腰三角形，旋转保持一边变到另一边；正多边形绕中心旋转时，图形不变。 例1　P是等边△ABC内一点，PA＝5，PB＝4，PC＝3，求等边三角形的边长。 分析：条件过于分散，设法集中起来以便发现联系，可作变换。 解：，则BQ＝AP＝5，CQ＝3＝CP且， 故△PQC为等边三角形，PQ＝3，在三角形BPQ中，由勾股定理得　， 故，在△BPC中由余弦定理求得. ■ 例2　在内角均小于的△ABC内有一点P，满足。 求证：P是到三顶点距离之和最小的点（即费马点）。 证明：，则为正三角形。 又由，　知、、共线，同理、、共线，即、、、共线，且。 M为△ABC内任一点，作变换，则 ，. ■ 例3　在的外侧作正三角形、、，求证：直线、、共点于（费马点）且，，. 证明：（1）设、交于，连、，只需证、、共线。 只需证即可。、 由，可认为，从而对应直线与的夹角，从而，又知，、、、共圆，、、、共圆，从而，，故 。 （2）在上取，下证即可。 由，知为等边三角形，故 ，故，所以 ，其余等式同理可证。 注： （1）落在三角形内，点同例2的点。 （2）若，则、、与、、共线，共点于，从而。 （3）若，则落在三角形外。 例4 设是等边的，在、、边上取一点取一点、、，使，设、、构成(如图)，求证：和也都是等边的，且有相同重心。 证明：记的重心为，则， 由旋转的结合性，顺序性不变知 ，即为正三角形且为重心。 ，即为正三角形且为重心。 例5 在的外侧作正方形和，、分别是、的中点，、是两个正方形的中心，求证：为正方形。 证明：由中位线定理知， 在和中，， 在和中，， 又知， 故四边形为正方形。 二、平移 1．定义 设T是平面上一个变换，使得平面上任一点变到，且满足 （1）射线具有给定的方向； （2）线段具有给定的长度。 即存在一给定的向量，使得，称T为平移变换，记作或. 2.性质 （1）平移变换不改变图形的合同、结合、顺序性。 （2）在平移变换下，直线变为与它平行的直线。 （3）在平移变换下，对应点的连线平行且等于已知向量。 3．例题分析 平移变换在几何证题中常用在证线段相等、平行及两角相等的问题中。 例6　在矩形ABCD内取点M，证明：存在一个四边形，它的对角线互相垂直且长度等于AB和BC，而边长分别等于AM、BM、CM和DM。 分析：这是一个存在性问题，关键是设法构造一个符合条件的四边形。而平移不改变线段的长度且保持方向，考虑用平移将6条线段集中起来。 证明：，则且，，故，四边形为所求。 例7　设、、分别是的边BC、CA、AB的中点，分别是的外心和内心。求证：. 证明：因为，故，于是 ，故， 同理，故. ■ 三、对称变换 1．定义　设S是平面上的一个变换，它使得平面上任一点X变到它关于直线的对称点，称S为关于直线的对称变换，记为，称为对称轴。若图形经对称变换变为图形，记为. 2．性质 （1）对称变换下图形与镜象合同，即图形全等，但转向相反。 （2）不在对称轴上的一对对应点的连线被对称轴垂直平分。 （3）与对称轴平行的直线的象仍是与对称轴平行的直线。 （4）P为对称轴上任一点，、为一双对应点，则被对称轴平分。 3．例题分析 例8　为内一点，且，、分别在和上，当的周长最小时，求. 解：设、分别为关于和的对称点，直线交和于点和点，则的周长为最小。在中，显然 ，，， 解得　，从而. 例9　P是锐角△ABC的BC边上一定点，试在AB、AC上分别确定M、N，使△PMN的周长为最小。 解：令，连接交AB、AC于M、N，则M、N为所求。 证：由对称性，的周长等于之长，设、是AB、AC上任一点，则的周长等于. ■ 4