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第12次课 代数式——整式的乘除、因式分解、分式 要点归纳 代数式的有关概念 ⑴代数式的分类： ⑵有理式：只含有加、减、乘、除、乘方（包括数字开方运算）的代数式，叫做有理式． ⑶无理式：含有关于字母开方运算的代数式，叫做无理式． ⑷整式：没有除法运算或虽有除法运算而除式里不含字母的有理式叫做整式． 同类项、合并同类项 所含的字母相同并且相同字母的指数也分别相同的单项式叫做同类项． 把多项式中的同类项合并成一项，叫做合并同类项，合并的法则是系数相加，所得的结果作为合并后的系数，字母和字母的指数不变． 去括号与添括号 ⑴去括号法则：括号前是“”号，去掉括号和它前面的“”号，括号里各项都不改变符号；括号前是“”号，去掉括号和它前面的“”号，括号里各项都改变符号． ⑵添括号法则：添括号，括号前面是“” 号，括到括号里的各项都不变符号，括号前面是“”号，括到括号里的各项都改变负号． 整式的运算 ⑴数的运算律对代数式同样适用． ⑵整式的加减：整式的加减法实际上就是合并同类项，遇到括号，一般要先去掉括号，去括号的方法是： 　　　； 　　　 ⑶幂的运算法则 同底数幂相乘，底数不变，指数相加，即： 　　． 幂的乘方，底数不变，指数相乘，即： 　　． 积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方、再把所得的幂相乘．即： 　　． 同底数幂相除，底数不变，指数相减．即 　　． ⑷整式的乘法 单项式与单项式相乘，把系数、同底数幂分别相乘，作为积的因式，只有一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式． 单项式与多项式相乘，就是根据分配律用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加．即． 多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘以另一个多项式的每一项，再把所得的积相加即． ⑸整式的除法 单项式除以单项式，把系数、同底数幂相除，作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式． 多项式除以单项式，把这个多项式的每一项除以这个单项式，然后把所得的商相加． ⑹乘法公式 平方差公式：两个数的和与这两个数的差的积等于这两个数的平方差，即： 　　 完全平方公式：两数和（或差）的平方，等于它的平方和加上（或者减去）它们积的２倍，即： 　　 因式分解 ⑴定义：把一个多项式化为几个整式的积的形式． ⑵基本方法： ①提公因式法：如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提到括号外面，将多项式写成因式乘积的形式，即： ②运用公式法：把乘法公式反过来对某些多项式分解因式，即：；． ③分组分解法： ⑶步骤：一提（提公因式）、二套（套用公式）、三分组（分组分解法） 注意：分解因式时，必须进行到每一个多项式都不能再分解为止． 分式的概念 用、表示两个整式，就可以表示成的形式．如果中含有字母，式子就叫做分式．分式中的字母取值必须使分母的值不为零，否则无意义． 注意：分式的值为零要同时满足：分母的值不为零，分子的值为零这个条件． 即 分式的性质 分式的分子与分母都乘（或除以）同一个不等于零的整式，分式的值不变，用式子表示是：，（是不等于零的整式）． ⑴式子中、、都是整式，特别要注意整式的值不等于零； ⑵应用时充分理解“都”和“同”这两个字的含义，避免犯只乘分子或分母一项的错误；⑶分式的分子、分母与分式本身的符号，改变其中的任何两个，分式的值不变． 如：； 　　 分式的运算 ⑴分式的加减法 同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减，即． 异分母的分式相加减，先通分（根据分式的基本性质，把异分母的分式化成和原来的分式相等的同分母的分式），变为同分母的分式，然后相加减，即． ⑵分式的乘除法 分式乘分式，用分子的积做积的分子，分母的积做积的分母，分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘，即 ， ． ⑶分式的乘方 分式乘方是把分子、分母各自乘方，即 　　． ⑷分式的混合运算 在分式的混合运算中，应先算成方，再将除法化为乘法，进行约分化简，最后进行加减运算，遇有括号，先算括号里面的．注意：在运算中要正确运用运算法则，灵活运用运算律，运算结果必须是最简分式或整式（其方法为根据分式的基本性质，把分式的分子和分母的公因式约去，即约分）． 典型例题 已知长方形的周长为cm，长为a cm，则宽为＿＿＿＿＿cm. 错解 . 分析 本题错误的原因是答案没有加上括号，造成没有单位. 正确答案 . 下列各式，哪些是代数式？ ① ② ③ ④ ⑤0 ⑥ ⑦ ⑧ ⑨. 分析 ① ⑥ ⑧是典型的用运算符号将数或表示数的字母联结而成，④ ⑤是属于单独一个数或单独一个字母，②是一个等式，③ ⑦ ⑨是不等式. 答案 ① ④ ⑤ ⑥ ⑧. 多项式几次几项式？ 错解 五次六项式. 分析 本题错误的原因是没有把与合